 |
Пошукова робота на тему:
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.
План
Властивості степеневих рядів
Неперервність суми
Інтегрування степеневих рядів
Диференціювання степеневих рядів
1. Властивості степеневих рядів
степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.
Тоді числовий ряд з додатними членами
(13.49)
і його сума буде неперервною на цьому відрізку.
).
Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)
, то ряд
(13.50)
сума ряду (13.39).
який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.
то
за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:
За ознакою Даламбера цей ряд збігається:
є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.
Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:
Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.
.
Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)
.
розбігається, тому що
розбігається (не виконується
б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності
.
Оскільки
, то
знакочергуючий ряд розбігається.
розбігається (не виконується
Приклад 2. Знайти суму ряду
Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :
а тому сума
Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:
і сума заданого ряду
|
|
|
 |
|
