 |
Пошукова робота на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі).
План
Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Рівняння Бернуллі
12.2. Рівняння з відокремленими
й відокремлюваними змінними
Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку
(12.1)
праву частину можна подати у вигляді
) це рівняння можна записати так:
(12.2)
, отримаємо
(12.3)
Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).
, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.
Диференціальне рівняння вигляду
(12.4)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
. Маємо
і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд
.
чоловік, приходимо до диференціального рівняння
(12.5)
- коефіцієнт пропорціональності).
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді
.
Загальний інтеграл рівняння
(12.6)
Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):
). Загальний інтеграл (12.6) має форму
.
:
(12.7)
та визначимо довільну сталу (у даному
, звідки
(12.8)
Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:
. (12.9)
Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).
Рис.12.1
, пропорційна добуткові концентрації цих речовин.
.
. Згідно з умовою
(12.10)
рівняння (12.10) запишемо у вигляді
або
(12.11)
.
Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.
- рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.
12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
Рівняння першого порядку
справедлива тотожність
.
є однорідним, бо
.
в рівняння дістанемо
,
звідки
.
, отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння.
.
Тоді
.
, звідки
.
.
Приклад 3. Покажемо, як розв’язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.
за формулами
.
Звідси
Отже,
.
Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду
Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо
.
На основі властивості пропорції позбудемося дробів:
Спрощуючи це рівняння, отримаємо
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруємо
.
.
.
Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду
(12.12)
- сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду
.
,
слід підібрати так, щоб виконувались рівняння
).
. В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді
. (12.13)
.
Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння
,
у якому змінні легко відокремлюються.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
.
. Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:
.
отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь
,
.
:
.
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
або
.
Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:
.
Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння
або, після спрощень,
.
12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:
(12.14)
.
, то рівняння
(12.15)
- неоднорідним.
Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:
.
Загальний інтеграл рівняння
,
а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)
(12.16)
:
(12.17)
Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):
,
:
, (12.18)
- довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду
(12.19)
Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.
:
(12.20)
Знайдемо похідну
(12.21)
У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо
або
(12.22)
з рівняння
(12.23)
, розв’язок якого
.
.
Це - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси
.
Отже, згідно з (12.21) загальний розв’язок рівняння (12.14)
, (12.19а)
- довільна стала.
. Наприклад, диференціальне рівняння
можна подати у вигляді
- аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:
- аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.
Розглянемо деякі приклади розв’язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
:
а) методом варіації довільної сталої;
.
Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:
.
.
у вихідне рівняння:
.
- довільна стала.
Таким чином, загальний розв’язок має вигляд
.
:
.
довільна стала ) збігається як слід було чекати, із розв’язком, знайденим раніше.
Приклад 2. При відстоюванні суспензії має місце повільне осідання твердих частинок під дією сили ваги , якщо опір середовища пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без початкової швидкості.
дістаємо рівняння
,
.
, спочатку відшукаємо загальний розв’язок рівняння. Використаємо метод варіації довільної сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд
.
Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо
.
.
,
одержується, згідно з умовою, таке рівняння:
.
,
довільна стала. Інтегруючи, маємо
.
Тоді загальний розв’язок рівняння набуває вигляду
.
.
Отже, частинний розв’язок поставленої задачі матиме вигляд
.
- сталі):
.
, то це рівняння повністю збігається з диференціальним рівнянням, розглянутим у прикладі 2, хоч описувані процеси зовсім різні.
маємо диференціальне рівняння, яке зручно записати у вигляді
.
.
знайдемо з рівняння
,
звідки
,
. Інтегруючи двічі частинами, отримаємо
,
визначимо за допомогою рівності
.
визначається виразом
.
12.5. Рівняння Бернуллі
Диференціальне рівняння виду
, (12.24)
відмінне від
- рівняння з відокремлюваними
змінними).
:
. Оскільки
,
диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння
, можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі.
, тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.
Покажемо це на прикладі.
Приклад . Розв’язати рівняння Бернуллі
.
або
.
отримується рівняння з відокремлюваними змінними
, загальний інтеграл якого буде таким:
,
довільна стала. Отже, відповідь
.
12.6. Рівняння в повних диференціалах.
Інтегруючий множник
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
(12.25)
- неперервні диференційовані функції, для яких
виконується співвідношення
, (12.26)
- також неперервні функції.
, то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).
.
Оскільки
,
маємо
визначаються за формулами
.
та
, що й доводить рівність (12.26).
, завдяки якій диференціальне рівняння (12.25) можна подати у формі
(12.27)
, то інтегруючи, маємо
(12.28)
, користуючись формулою (12.28):
(12.29)
і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо
.
або
.
,
у вираз (12.28), отримаємо
.
Це дозволяє записати загальний розв’язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:
- довільна стала.
Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати
.
Приклад . Розв’язати рівняння
Р о з в ’ я з о к. Позначимо
рівні між собою:
.
.
:
.
,
- довільна стала.
знайдено:
.
.
таку, що рівняння
(12.30)
буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності (12.26):
,
або
.
Зведемо подібні члени
.
, отримаємо
(12.31)
. Розв’язати його – це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31) спрощується і його можна розв’язати.
.
, і рівняння (12.31) набуває вигляду
(12.32)
, то воно легко інтегрується.
.
Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:
(12.33)
, рівняння (12.33) інтегрується.
.
Р о з в ’ я з о к. Знайшовши частинні похідні
переконуємося, що умова (12.26) не виконується.
. Рівняння (12.32) набуває вигляду
.
не існує.
, і складемо рівняння (12.33):
.
, рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:
та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
.
Тоді
. Оскільки
, або
.
:
.
.
Тоді
,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд
|
|
|
 |
|
