 |
Реферат на тему:
Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
Множити на число
Додавати матриці однакових розмірів:
Множити матриці:
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.
.
Беспосередньо можна первірити, що для
такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню (.
. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
.
.
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
.
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.
, що відповідає власному значенню (1 з рівності
Тоді
Враховуючи, що
перепишемо систему у вигляді:
і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.
,тому що поклавши отримаємо x1>0.
,
, бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
(тобто всі елементи додатні). Тоді
(існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)
- має однакові рядки.
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
,
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
І тому
.
.
За визначенням
Звідки
отримуємо
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.
.
у матричній формі
.
Знайдемо границю Pn:
Твердження 1 теореми доведено.
.
.
Маємо
,
, тому що p>0 і q >0
Теорема доказана.
можна знайти з умови:
Доведення.
визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980
С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
М., 1984
Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984
PAGE 1
|
|
|
 |
|
