Новини сайту Про проект Рекламодавцям Зворотній зв`язок Контакт Ласкаво просимо! Реферати Бібліотека Портфель Замовлення Net пошук Працевлаштування Знайомства Форум Новини Події Куплю/продам Каталог сайтів Кlubніка МегаДОСТУП Детальна інформація Тема: Економетрія Тип документу: Бібліотека Предмет: Облік та аудит Автор: О.Л. Лещинський, В. В. Рязанцева,О. О. Юнькова Розмір: 483.6 Скачувань: 2139 МІЖРЕГІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ УО. Л. Лещинський, В. В. Рязанцева, О. О. Юнькова ЕКОНОМЕТРІЯ Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів Київ 2003 Рецензенти: О. А. Корольов, д-р екон. наук, проф. Ю. В. Крак, д-р фіз.-мат. наук, проф. Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом (протокол № 8 від 28.11.02) Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (лист № 14/18.2-1513 від 22.09.03) Лещинський О. Л. Л54 Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / О. Л. Ле- щинський, В. В. Рязанцева, О. О. Юнькова. — К.: МАУП, 2003. — 208 с.: іл. — Бібліогр.: с. 203–205. ISBN 966-608-292-6 У навчальному посібнику “Економетрія” розглядаються основні завдан- ня економетричних досліджень і методи їх розв’язання, визначається місце та значення цієї наукової дисципліни, її зв’язок з економікою, статистикою та математикою. Основним методом оцінювання параметрів регресійних мо- делей обрано метод найменших квадратів (МНК). Розглянуто особливості оцінювання параметрів у разі порушення основних передумов застосування класичного МНК. Описано альтернативні методи оцінювання параметрів мо- делей (метод головних компонентів, узагальнений МНК тощо). Моделюван- ня динаміки економічних процесів розглянуто на прикладах дистрибутивно- лагових і авторегресійних моделей. Для моделювання економічних процесів з прямими та зворотними зв’язками використано системи одночасних рів- нянь. Описано способи дослідження та застосування моделей з якісними не- залежними змінними. Для студентів економічних спеціальностей, які вивчали вищу математи- ку, лінійну алгебру, теорію ймовірностей та математичну статистику. ББК 65в6я73 72 © О. Л. Лещинський, В. В. Рязанцева, О. О. Юнькова, 2003 © Міжрегіональна Академія 4.01)ISBN 966-608-292-6 966-608-213-6© управління персоналом (МАУП), 2003 ВСТУП Відтоді як економіка стала серйозною самостійною наукою, дослід- ники намагаються спрогнозувати ту чи іншу ситуацію, передбачити майбутні значення економічних показників, запропонувати інстру- менти зміни ситуації в бажаному напрямку. Політики або керуючі ви- робництвом, обираючи одну з можливих стратегій, отримують пев- ний результат. Поганий він чи гарний і чи можна було досягти кращого результату, перевірити дуже важко. Економічна ситуація практично ніколи не повторюється в точності, отже, неможливо зас- тосувати дві стратегії за тих самих умов з метою порівняння кінце- вого результату. Тому одним із основних завдань економічного ана- лізу є моделювання розвитку економічних явищ і процесів при створенні тих чи інших умов. Зрозумівши глибинні рушійні сили досліджуваного процесу, можна навчитися раціонально керувати ним. Застосування математичних методів у економіці дає змогу виокре- мити та формально описати найважливіші, найсуттєвіші зв’язки еко- номічних змінних і об’єктів, а також індуктивним шляхом отримати нові знання про об’єкт. Крім того, мовою математики можна точно та компактно відображати твердження економічної теорії, формулю- вати її поняття та висновки. Критерієм істини для будь-якої теорії є практика. Зокрема, прак- тика економічної діяльності відображається у статистичній інфор- мації. Поєднання економічної теорії з практичними результатами є наріжним каменем економетрії. Економетрія як наукова дисципліна, її зв’язок з іншими економічними дисциплінами Економетрія — це порівняно новий напрямок економічної науки, що утворився від поєднання теоретичної економіки, математики та Слово “економетрія” (у деяких джерелах “економетрика”) бук- вально означає “вимірювання в економіці”, що дає підстави під цим терміном розуміти все, що пов’язано з вимірюваннями в економіці. Од- нак таке тлумачення надзвичайно широке і не відображає особливостей цієї галузі знань. З іншого боку, через необхідність застосування мате- матико-статистичних методів інколи економетрії дають вужче тлума- чення, а саме розглядають її лише як певний набір математико-стати- стичних засобів, якими кількісно досліджують взаємозв’язки певних рядів статистичних даних. Тому точнішим є таке визначення [1]: Економетрія — це самостійна наукова дисципліна, яка об’єднує су- купність теоретичних результатів, засобів, прийомів, методів і моде- лей, призначених для того, щоб на базі економічної теорії, економічної статистики та математико-статистичного інструментарію нада- вати конкретних кількісних значень загальним (якісним) закономірно- стям, обгрунтованим економічною теорією. Стосовно даного визначення слід мати на увазі, що завдання еко- номічної теорії в межах економетрії полягають не лише в тому, щоб виявляти закони та зв’язки, які об’єктивно існують в економіці, а й описувати їх математичними методами. Економічна статистика аку- мулює всю інформацію про економічні процеси, що відбуваються в реальній економіці, та уособлює той практичний досвід, який має підтвердити чи спростувати відповідні економічні теорії. А під мате- матико-статистичним інструментарієм розуміють не всю математич- ну статистику, а лише окремі її розділи: лінійні моделі регресійного аналізу, аналіз часових рядів, побудову та аналіз систем одночасних рівнянь, перевірку статистичних гіпотез. Саме “приземлення” економічної теорії на базу конкретної еконо- мічної статистики та отримання за допомогою відповідних матема- тичних методів кількісних взаємозв’язків між економічними показ- никами є сутністю економетрії. Зазначені в такий спосіб ключові моменти у визначенні еконо- метрії забезпечують її розмежування з такими дисциплінами, як мате- матична економіка, описова економічна статистика та математична ста- тистика. Математична економіка — це математично сформульована економічна теорія, що вивчає зв’язки між економічними змінними на загальному (некількісному) рівні. Вона стає економетрією, коли сим- волічно подані в рівняннях коефіцієнти замінюють конкретними чи- словими оцінками, отриманими на базі відповідних статистичних да- них (даних описової статистики) методами математичної статистики. Отже, економетрія — це прикладна економіко-математична дис- ципліна, яка вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними показниками та напрямки їх застосування в економіч- них дослідженнях і практичній економічній діяльності [17]. Об’єкт, предмет, мета і завдання економетрії Об’єктом економетрії є економічні системи та простори різного рівня складності: від окремого підприємства чи фірми до економіки галузей, регіонів, держави й світу загалом. Предмет економетрії — це методи побудови та дослідження мате- матико-статистичних моделей економіки, проведення кількісних до- сліджень економічних явищ, пояснення та прогнозування розвитку економічних процесів. Метою економетричного дослідження є аналіз реальних економіч- них систем і процесів, що в них відбуваються, за допомогою еконо- метричних методів і моделей, їх застосування при прийнятті науко- во обгрунтованих управлінських рішень. Основне завдання економетрії — оцінити параметри моделей з ура- хуванням особливостей вхідної економічної інформації, перевірити відповідність моделей досліджуваному явищу і спрогнозувати розви- ток економічних процесів. Основні етапи економетричного аналізу Процес економетричного моделювання складається з таких кроків: 1) вибір конкретної форми аналітичної залежності між економіч- ними показниками (специфікація моделі) на підставі відповідної еко- номічної теорії; 2) збирання та підготовка статистичної інформації; 3) оцінювання параметрів моделей; 4) перевірка адекватності моделі та достовірності її параметрів; 5) застосування моделі для прогнозування розвитку економічних процесів з метою подальшого керування ними. Економічні задачі, які розв’язують за допомогою економетричних методів Застосування різноманітних економетричних моделей на різних рівнях економічної діяльності дає змогу розв’язувати економічні про- блеми різного рівня складності. На рівні макроекономіки економетричними засобами досліджують закономірності у виробництві, розподілі, перерозподілі та кінцевому використанні валового внутрішнього продукту, у яких суттєву роль відіграють державний бюджет, податкова політика, страхування, кре- дит, ощадна справа. Узгодженість усіх галузей фінансово-кредитної системи визначає ефективність розподільчих відносин, збалансо- ваність доходів і витрат у народному господарстві, забезпечення про- цесів відтворення грошових ресурсів, фінансової захищеності держав- ного, колективного та особистого майна від інфляції та інших негативних явищ. На мікрорівні економетричні дослідження передбачають наукове обгрунтування управлінських рішень, що приймаються на підприєм- ствах різних форм власності й мають ураховувати постійний вплив зовнішнього середовища. Моделі можуть використовуватися для аналізу економічних і соціально-економічних показників, що характеризують відповідну економічну систему, для прогнозування їх подальшого змінювання або для імітації можливих сценаріїв соціально-економічного роз- витку досліджуваної системи за умови, що деякі показники можна змінювати цілеспрямовано. За рівнем ієрархії виокремлюють: макрорівень (країна загалом), мезорівень (регіони, галузі, корпорації) та мікрорівень (сім’я, під- приємство, фірма). Засобами економетричного моделювання вивчають проблеми рин- ку, інвестицій, фінансової чи соціальної політики, ціноутворення, по- питу та пропозиції тощо. Особливого значення економетричні дослідження набувають в макроекономіці, де взаємозв’язки величин часто неочевидні та мінливі. Не виключені ситуації, коли модель раптом перестає “пра- цювати” через появу або активізацію якогось фактора. Саме такі си- туації зумовлюють розвиток макроекономічної теорії. З іншого боку, саме економетричний аналіз дає змогу обгрунтувати та уточнити форму залежностей в макроекономічних моделях, краще зрозуміти механізми взаємозв’язку макроекономічних показників. Отже, поєднуючи в собі економічну теорію та математико-статис- тичні методи, економетричне моделювання широко застосовується при прийнятті практичних рішень в економічній діяльності (у бізнесі, банківській справі, прогнозуванні, державному регулюванні економіки), а також є потужною базою для отримання нових знань з економіки. Місце курсу серед дисциплін фундаментальної підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей Економетрія — одна з основних дисциплін у підготовці бакалаврів з економічних спеціальностей. Вона будується на основі математич- них та економічних знань. Методи економетрії є найсучаснішими засобами аналізу та до- слідження різних соціально-економічних систем. За допомогою еко- нометричних методів можна відхилити деякі економічні гіпотези або показати неможливість застосовування їх у конкретних умовах. Хоча засоби економетрії не дають змоги довести теоретичні твердження, але з допомогою її методів можна показати, що те чи інше тверджен- ня не суперечить даним спостережень. Оволодівши елементарним інструментарієм економетрії, можна обгрунтовано прогнозувати роз- виток цих систем, оцінювати вплив рішень чи урядових постанов щодо зміни цін, податків тощо на стан справ будь-якого підприєм- ства, розробляти шляхи ефективного керування ними, приймати ефективні управлінські рішення. Мета вивчення курсу “Економетрія” — навчитися аналізувати інформаційні потоки в соціально-економічних системах, прогнозува- ти їх поведінку, оцінювати та будувати економетричні моделі різного рівня. Вивчення курсу передбачає відповідну математичну та економіч- ну підготовку. Проте для того, щоб ознайомитися з проблемами, які вивчає економетрія і з якими стикаються ті, хто використовує еко- нометричні методи, не потрібно бути спеціалістом з усіх розділів ма- тематики та економіки. Знання певних розділів математики, зокрема основ лінійної алгебри, теорії матриць, теорії ймовірностей, матема- тичної статистики та основ економіки, можуть виявитися достатні- ми для вивчення курсу економетрії. Структура курсу Економетрія поділяється на дві частини: економетричні методи та економетричні моделі економічних процесів і явищ. У цьому курсі вивчається здебільшого матеріал, що входить до першої частини, тобто економетричні методи. Їх можна умовно роз- бити на чотири групи. Перша група — це методи оцінювання пара- метрів класичної економетричної моделі, насамперед метод наймен ших квадратів (МНК). Друга група — це методи оцінювання пара- метрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови ви- користання методу найменших квадратів. До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричних моделей. Четверта група охоплює методи оцінювання параметрів еконо- метричних моделей, які побудовані на основі системи одночасних структурних рівнянь. Коротка історична довідка На початку XX ст. у деяких країнах були спроби скласти так звані “барометри розвитку”. Найвідоміший з них “гарвардський барометр”, за допомогою якого в 20-ті роки намагалися передбачити поведінку товарного і грошового ринку. Гарвардська школа вважалася на той час центром економічних досліджень. Тут уперше почали системно вивчати ряди економічних показників з урахуванням взаємозв’язку між ними і на основі цих показників досліджувати тенденції та цикли економічних процесів. Криза 1929–1933 рр. змусила критично переглянути методи аналізу, які застосовувалися на той час в економіці. Лише після того як в економічних дослідженнях почали врахову- вати випадкові аспекти економічних явищ, стало можливим форму- вання економетрії як галузі економічної науки. Сучасні методи математичної статистики почали застосовувати в біології. Наприкінці ХІХ ст. англійський біолог К. Пірсон дослід- жував криві розподілу деяких числових показників людського орга- нізму. Пізніше він та його школа почали вивчати кореляції в біології та будувати лінійні регресії. Підходи, запропоновані біологами, були застосовані в економіці. У 1897 р. з’явилася праця В. Парето, у якій досліджувалися доходи населення в різних країнах. У ній вперше була застосована так звана крива Парето, параметри якої було отри- мано статистичними методами. На початку ХХ ст. вийшло кілька праць англійського статистика Гукера, у яких за допомогою кореляційно-регресійних методів, запо- чаткованих школою Пірсона, вивчалися взаємозалежності між еко- номічними показниками, зокрема вплив банкрутств на товарній біржі на ціну зерна. Пізніше з’явилося багато праць як з розвитку теорії математичної статистики та її прикладних елементів, так і з практич- ного застосування цих методів в економічному аналізі. Насамперед, праці Мура, які вийшли друком протягом 1914–1917 рр. У 1928 р. було опубліковано дослідження Ч. Кобба і П. Дугласа про виробни- чу функцію, яка ввійшла в економетрію як класичний приклад і досі є важливим інструментом економетричного аналізу. Саме ці праці заклали підвалини сучасної економетрії. Економетрія як окрема галузь науки відома під такою назвою лише з 1930 р. Саме тоді було засновано економетричне товариство, яке визначало себе так: “Міжнародне товариство для розвитку еко- номічної теорії і її зв’язку зі статистикою та математикою”. Зауважи- мо, що термін “економетрія” вперше запровадив львівський учений П. Чомпа, опублікувавши у Львові в 1910 р. книгу “Нариси еконо- метрії і природної теорії бухгалтерії, яка грунтується на політичній економії”. Однак це поняття не набуло поширення, оскільки на той час не було фундаментальних праць у цій галузі науки. Засновниками економетрії вважають Р. Фріша, Е. Шумпетера, Я. Тінбергена — послідовників неокласичної економічної школи і кейнсіанства. Вони одними з перших цілеспрямовано намагалися поєднати економічну теорію з математичними та статистичними ме- тодами. Спочатку вчені обмежувалися вивченням деяких моделей по- питу і пропозиції. Лише після Другої світової війни вони почали вив- чати комплексні економетричні моделі на макрорівні, у яких основна увага приділялася попиту, фінансовому стану й податкам, прибутку, цінам тощо. Основним внеском цих учених в економетричну науку є розробка економетричних моделей прийняття рішень, за яку в 1969 р. Р. Фріш та Я. Тінберген були відзначені Нобелівською премією. Пізніше Нобелівську премію в галузі економіки отримали Т. К. Купманс (1975) за розробку лінійних економетричних моделей і розвиток статистичних методів у економетрії, Л. Р. Клейн (1980) за розробку складних економетричних моделей та їх застосування для аналізу кон’юнктурних коливань і економічної політики, Т. Хаавелмо (1989) за розробку та застосування теоретико-імовірнісних методів, особливо для аналізу взаємозалежних економетричних структур. Значний внесок у розробку економічних моделей зробили також нобелівські лауреати В. Леонтьєв (1973), якому належать розробки в галузі балансових моделей для моделювання взаємозв’язків з вели- кою кількістю змінних, Л. Канторович (1975), який досліджував ви- робничі моделі, Г. Дебрю (1983), який працював у галузі математи- зації економічної теорії. Хоча їхні праці безпосередньо не пов’язані з економетричними дослідженнями, усе ж вони значною мірою впли- нули на подальший розвиток не лише економетрії, а й економічної науки загалом. У 2000 р. Дж. Хекман і Д. Макфеден відзначені Но- белівською премією за розробку мікроеконометрії та методів статис- тичного аналізу. Контрольні запитання 1. У чому полягає основний зміст проблематики економетрії? 2. Як пов’язані між собою математична економіка, описова ста- тистика та математична статистика? 3. Визначте основне завдання економетричного дослідження. 4. Розкрийте зміст основних етапів економетричного аналізу. Розділ 1. Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів 1.1. Загальні принципи моделювання в економіці 1.1.1. Поняття математичної моделі При вивченні складних економічних процесів та явищ часто засто- совується моделювання. Модель — це спеціально створений об’єкт, на якому відтворюються певні характеристики досліджуваного явища, а моделювання — це конкретне відтворення цих характеристик, що дає змогу вивчати можливу поведінку явища без проведення експе- риментів над ним. Моделювання є важливим інструментом наукової абстракції, що допомагає виокремити, уособити та проаналізувати суттєві для даного об’єкта характеристики (властивості, взаємозв’язки, структурні та функціональні параметри). Для економіки, де неможливе будь-яке експериментування, особ- ливого значення набуває математичне моделювання. Завдяки засто- суванню потужного математичного апарату воно є найефективнішим і найдосконалішим методом. У свою чергу, математичні методи не можуть застосовуватися безпосередньо щодо дійсності, а лише щодо математичних моделей того чи іншого кола явищ. Прикладами економічних моделей є моделі споживчого вибору, моделі фірми, моделі економічного зростання, моделі рівноваги на товарних, факторних і фінансових ринках тощо. Поведінка й значення будь-якого економічного показника зале- жать практично від безлічі факторів, усі їх урахувати нереально. Але в цьому й немає потреби. Звичайно лише обмежена кількість фак- торів насправді істотно впливає на досліджуваний економічний по- казник. Вплив інших факторів настільки незначний, що їх ігноруван- ня не може призвести до істотних відхилень у поведінці досліджува- ного об’єкта. Виокремлення й урахування в моделі лише обмеженої кількості реально домінуючих факторів і є важливою передумовою якісного аналізу, прогнозування й керування ситуацією. Математична модель, аби бути ефективним інструментом вивчен- ня економічних процесів, насамперед має відповідати таким вимогам: будуватися на основі економічної теорії й відбивати об’єктивні за- кономірності процесів; правильно відтворювати функцію та (чи) структуру реальної еко- номічної системи; відповідати певним математичним умовам (мати розв’язок, узгод- жені розмірності тощо). Природно, результати досліджень будь-якої моделі можуть мати практичну цінність, якщо модель адекватна явищу, що вивчається, тобто досить добре відтворює реальну ситуацію. 1.1.2. Етапи побудови економічної моделі Процес побудови моделі складається з таких етапів: 1) формулюються предмет і мета дослідження; 2) у досліджуваній економічній системі виокремлюються струк- турні чи функціональні елементи, що відповідають поставленій меті, визначаються найважливіші якісні характеристики цих елементів; 3) словесно, якісно описуються взаємозв’язки між елементами моделі; 4) уводяться символічні позначення для відповідних характерис- тик економічного об’єкта та формалізуються, наскільки можливо, взаємозв’язки між ними, тим самим формалізується (описується мо- вою математики) математична модель; 5) виконуються розрахунки за математичною моделлю та аналі- зуються отримані результати. Зауважимо, що різні за природою економічні явища можуть мати однаковий математичний вираз, хоча економічна інтерпретація моделі та результати розрахунків будуть різними. За визначенням, будь-яка економічна модель є абстрактною, а от- же, неповною. Це пов’язано з тим, що для виокремлення закономірно- стей функціонування економічного об’єкта потрібно абстрагуватися від інших факторів, які хоч і мають незначний вплив, однак у сукуп- ності можуть визначати не лише відхилення в поведінці об’єкта, а й його поведінку. Звичайно вважають, що всі фактори, невраховані явно в моделі, мають незначний результуючий вплив на процес чи явище, що досліджується. Склад урахованих факторів і їх структура кори- гуються в процесі вдосконалення моделі. 1.1.3. Класифікація моделей Математичні моделі, що використовуються в економіці, можна поділити на класи за рядом ознак. Залежно від особливостей об’єкта моделювання та застосованого математичного інструментарію виок- ремлюють такі моделі: макро- та мікроекономічні, теоретичні та при- кладні, статичні та динамічні, детерміновані та стохастичні, оптимі- заційні та моделі рівноваги тощо. Макроекономічні моделі описують економіку загалом, пов’язуючи між собою узагальнені матеріальні та фінансові показники: ВВП, споживан- ня, інвестиції, зайнятість, процентну ставку, кількість грошей тощо. Мікро- економічні моделі описують взаємодію структурних і функціональних складових економіки або поведінку окремої складової в ринковому се- редовищі. Завдяки різноманіттю типів економічних елементів і форм їх взаємодії на ринку мікроекономічне моделювання становить основну ча- стину економіко-математичної теорії. Останніми роками найсуттєвіші те- оретичні результати в мікроекономічному моделюванні отримано в про- цесі дослідження стратегічної поведінки фірм в умовах олігополії. Теоретичні моделі дають змогу вивчати загальні властивості еко- номіки та її характерних елементів і отримувати нові результати на підставі формальних припущень. За допомогою прикладних моделей можна оцінити певні економічні показники, надати їм конкретних значень виходячи з відповідної статистичної інформації. У статичних моделях описується стан економічного об’єкта в пев- ний момент чи період часу, а динамічні моделі вивчають взаємозв’яз- ки економічних змінних у часі. Змінні, що вивчаються в динаміці, у статичних моделях мають фіксоване значення. Однак динамічна мо- дель не зводиться до простої суми статичних моделей, а описує взає- модію сил, що рухають економіку. Детерміновані моделі передбачають жорсткі функціональні зв’яз- ки між змінними моделі, а стохастичні — припускають наявність ви- падкових впливів на досліджувані показники. У моделюванні ринкової економіки важливе місце належить моде- лям рівноваги. Вони описують такий стан економіки, коли всі сили, що намагаються вивести її з рівноваги, мають нульову сумарну дію. Опти- мізаційні моделі найчастіше застосовують на мікрорівні: вони дають змогу визначати найкращі рішення в умовах обмежених можливостей. Предметом економетричного дослідження є прикладні стохастичні економічні моделі, тобто загальні економічні моделі, у яких модельні коефіцієнти набувають конкретних числових значень залежно від використаної статистичної інформації. 1.2. Кореляційно-регресійний аналіз в економіці У багатьох задачах потрібно встановити та оцінити залежність деякого економічного показника від одного чи кількох інших показ- ників. Очевидно, будь-які економічні показники, зазвичай, перебува- ють під впливом випадкових факторів, а тому з математичної точки зору інтерпретуються як випадкові величини. З теорії ймовірностей відомо, що випадкові величини можуть бути пов’язані функціональною чи статистичною залежністю або ж узагалі бути незалежними. Звичайно, співвідношення між незалежними змінними тут не розглядаються. Строга функціональна залежність реалізується в економіці рідко. Частіше спостерігається так звана ста- тистична залежність. Нагадаємо, що статистичною називають залежність, коли зі змінюванням однієї випадкової величини змінюється закон розподі- лу ймовірностей іншої. Зокрема, статистична залежність виявляєть- ся в тому, що зі змінюванням однієї величини змінюється середнє значення іншої. Така залежність називається кореляційною. Наприклад, у землеробстві з однакових за площею ділянок землі при рівних кількостях внесених добрив збирають різний врожай. Зви- чайно, немає строгої функціональної залежності між урожайністю землі та кількістю внесених добрив. Це пояснюється впливом випад- кових факторів (опади, температура повітря, розташування ділян- ки тощо). Водночас, як показує досвід, середній врожай залежить від кількості внесених добрив, тобто зазначені показники, напевне, пов’язані кореляційною залежністю. Можна зазначити два типи взаємозв’язку змінних. В одному ви- падку невідомо, яка зі змінних незалежна, а яка — залежна, тобто вони рівноправні й зв’язок можна розглядати як в один, так і в інший бік. У другому випадку змінні нерівноправні, тобто змінювання лише однієї з них впливає на змінювання іншої, а не навпаки. У цьому разі при розгляді зв’язку між двома змінними величинами важливо встано- вити на основі логічного міркування, яка з ознак є причиною, а яка — наслідком. Наприклад, урожайність залежить від родючості землі, а не навпаки, тобто економічна оцінка землі є незалежною змінною, а врожайність — залежною. Варто мати на увазі, що статистичний аналіз залежностей сам по собі не розкриває сутності причинних зв’язків між явищами, тобто він не вирішує питання, з яких причин одна змінна впливає на іншу. Розв’язок такої задачі є результатом якісного (змістовного) вивчен- ня зв’язків, що обов’язково має або передувати статистичному аналі- зу, або супроводжувати його. Нехай з певних економічних міркувань встановлено, що деякий економічний показник x є причиною змінювання іншого показника y. Статистичні дані по кожному з показників інтерпретуються як деякі реалізації випадкових величин Х і Y. Як відомо з курсу теорії ймовір- ностей, математичним сподіванням випадкової величини називаєть- ся її середнє (арифметичне чи зважене) значення. А залежність се- реднього значення від іншої випадкової величини зображується за допомогою умовного математичного сподівання. Кореляційну залежність між ними або залежність в середньому в загальному випадку можна подати у вигляді співвідношення (1.1) M (Y | x) = f ( x), де M (Y | x) — умовне математичне сподівання. Функція f ( x) називається функцією регресії Y на X. При цьому X називається незалежною (пояснюючою) змінною (регресором), Y — за- лежною (пояснюваною) змінною (регресандом). Розглядаючи за- лежність двох випадкових величин, говорять про парну регресію. Залежність Y від кількох змінних, що описується функцією (1.2) M (Y | x1, x2 , K , xm ) = . ( x1 , x2 , K , xm ), називають множинною регресією. Термін “регресія” (рух назад, повернення до попереднього стану) увів Френсіс Галтон наприкінці XIX ст., проаналізувавши залежність між зростом батьків і зростом дітей. Він помітив, що зріст дітей у ду- же високих батьків у середньому менший, ніж середній зріст батьків. У дуже низьких батьків, навпаки, середній зріст дітей вищий. В обох випадках середній зріст дітей прямує (повертається) до середнього зросту людей у даному регіоні. Звідси й вибір терміна, що відбиває таку залежність. Однак реальні значення залежної змінної не завжди збігаються з її умовним математичним сподіванням, тому аналітична залежність (у вигляді функції y = f ( x)) має бути доповнена випадковою скла- довою u, що, власне, і вказує на стохастичну сутність залежності. Означення 1.1. Зв’язки між залежною та незалежною (незалеж- ними) змінними, що описуються співвідношеннями y = f ( x) + u, (1.3) y = . ( x1, x2 ,K , xm ) + u, (1.4) називають регресійними рівняннями (моделями). Виникає питання про причини обов’язкової присутності в ре- гресійних моделях випадкового фактора (відхилення). Серед таких причин виокремимо найістотніші. 1. Уведення в модель не всіх пояснюючих змінних. Будь-яка регре- сійна (зокрема, економетрична) модель — це спрощення реальної си- туації. Остання завжди є складною композицією різних факторів, багато з яких у моделі не враховуються, що призводить до відхилен- ня реальних значень залежної змінної від її модельних значень. На- приклад, попит на товар визначається його ціною, цінами на товари- замінники, на товари, що його доповнюють, прибутком споживачів, їхніми смаками, уподобаннями тощо. Безумовно, перелічити всі пояс- нюючі змінні практично неможливо. Зокрема, неможливо врахувати такі фактори, як традиції, національні чи релігійні особливості, геогра- фічне положення району, погоду та багато інших, вплив яких призво- дить до деяких відхилень реальних спостережень від модельних. Ці відхилення можуть бути описані як випадкова складова моделі. У деяких випадках заздалегідь невідомо, які фактори за умов, що склалися, насправді є визначальними, а якими можна знехтувати. Крім того, інколи безпосередньо врахувати якийсь фактор немож- ливо через відсутність статистичних даних. Наприклад, обсяг за- ощаджень домогосподарств може визначатися не лише прибутками їх членів, а й станом здоров’я останніх, інформація про яке в цивілі- зованих країнах становить лікарську таємницю. У деяких ситуаціях ряд факторів має принципово випадковий характер, що додає не- однозначності певним моделям, наприклад погода в моделях, що про- гнозують обсяг врожаю. 2. Неправильний вибір функціональної форми моделі. Через слабку вив- ченість досліджуваного процесу або через його мінливість може бути не- правильно дібрано функцію, що його моделює. Це, безумовно, спричи- нить відхилення моделі від реальності, що позначиться на величині випадкової складової. Наприклад, виробнича функція (Y) одного факто- ра (Х) може моделюватися функцією Y = a + bX , хоча мала б викорис- товуватися інша модель: Y = aX  b (0 < b < 1), що враховує закон спадної ефективності. Крім того, неправильним може бути добір пояснюючих змінних. 3. Агрегування змінних. У багатьох моделях розглядаються залеж- ності між факторами, що самі є складною комбінацією інших, про- стіших змінних. Наприклад, при вивченні сукупного попиту аналі- зується залежність, у якій пояснювана змінна (сукупний попит) є складною композицією індивідуальних попитів, що також може ви- явитися причиною відхилення реальних значень від модельних. 4. Помилки вимірювань. Якою б якісною не була модель, помилки вимірювання змінних впливатимуть на розбіжності між модельними та емпіричними даними, що також позначиться на величині випад- кового члена. 5. Обмеженість статистичних даних. Найчастіше будуються мо- делі, що описуються неперервними функціями. А для оцінювання параметрів моделі використовується набір даних, що має дискрет- ну структуру. Ця невідповідність знаходить відображення у випад- ковому відхиленні. 6. Непередбачуваність людського фактора. Ця причина може “зіпсувати” найякіснішу модель. Дійсно, при правильному виборі форми моделі, скрупульозному доборі пояснюючих змінних немож- ливо спрогнозувати поведінку кожного індивідуума. Сукупність методів, за допомогою яких досліджуються та узагаль- нюються взаємозв’язки кореляційно пов’язаних змінних, називаєть- ся кореляційно-регресійним аналізом. Зазначеними методами розв’язують дві основні задачі: 1) знаходження загальної закономірності, що характеризує залеж- ність двох (чи більше) кореляційно пов’язаних змінних, тобто роз- робка математичної моделі зв’язку (задача регресійного аналізу); 2) визначення тісноти зв’язку (задача кореляційного аналізу). Здебільшого процедура аналізу зв’язку між змінними дає змогу встановити його природу, тобто визначити форму залежності між змінними. Побудова якісного рівняння регресії, що відповідає емпіричним даним і цілям досліджень, є досить складним процесом. Його можна поділити на три етапи: 1) вибір форми рівняння регресії; 2) визначення параметрів обраного рівняння; 3) аналіз якості рівняння та перевірка адекватності рівняння ем- піричним даним, удосконалення рівняння. Вибір форми зв’язку змінних називається специфікацією моделі регресії. У випадку парної регресії вибір формули звичайно здійснюється за графічним зображенням реальних статистичних даних у вигляді точок у декартовій системі координат, що називається кореляційним полем (діаграмою розсіювання) (рис. 1.1). Рис. 1.1 На рис. 1.1 проілюстровано три ситуації. На графіку 1.1, а взаємозв’язок між X і Y близький до лінійного, і пряма 1 досить добре узгоджується з емпіричними точками. Тому щоб описати залежність між X і Y, доцільно вибрати лінійну функ- цію Y = b0 + b1X . На графіку 1.1, б реальний взаємозв’язок між X і Y, найімовірні- ше, описується квадратичною функцією Y = aX  2 + bX + c (лінія 2). На графіку 1.1, в явний взаємозв’язок між X і Y відсутній. Тому щоб краще вибрати форму зв’язку, необхідно, можливо, збільшити кількість спостережень — точок кореляційного поля або скористати- ся іншими способами вимірювання показників. У випадку множинної регресії визначити форми залежності ще складніше. Якщо природа зв’язку невідома, то співвідношення між показни- ками описують за допомогою наближених спрощених форм залеж- ностей, насамперед лінійних. Наприклад, Кейнс запропонував лінійну формулу залежності індивідуального споживання C від доходу Y: C = c0 + bY , де c0 > 0 — величина автономного споживання; b — гранична схильність до спо- живання, 0 < b < 1. Однак поки не обчислено кількісні значення коефіцієнтів c0 і b й не перевірено надійність отриманих результатів, зазначена форму- ла залишається лише гіпотезою. 1.3. Економетрична модель та її елементи Економетрична модель — це логічний (звичайно математичний) опис того, що економічна теорія вважає особливо важливим при до- слідженні певної проблеми. Як правило, модель має форму рівняння чи системи рівнянь, що характеризують виокремлені дослідником взаємозалежності між економічними показниками. Економетрична модель, що пояснює поведінку одного показника, складається з одного рівняння, а мо- дель, що характеризує зміну кількох показників, — із такої самої кількості рівнянь. У моделі можуть бути також тотожності, що відбивають функціональні зв’язки в певній економічній системі. Оскільки така модель поєднує не лише теоретичний, якісний аналіз взаємозв’язків, а й емпіричну інформацію, то в ній, на відміну від просто економічної моделі, завжди присутні стохастичні залишки. Саме ймовірнісні характеристики залишків моделі зумовлюють якість тієї чи іншої аналітичної форми моделі. Отже, сформулюємо таке означення економетричної моделі. Означення 1.2. Економетрична модель — це функція чи система функцій, що описує кореляційно-регресійний зв’язок між економіч- ними показниками, причому залежно від причинних зв’язків між ними один чи кілька із цих показників розглядаються як залежні змінні, аУ загальному випадку рівняння в економетричній моделі має ви- гляд Y = f ( x1, x2 , ..., xm , u), де Y — результат, або залежна змінна, змінювання якої описує дане рівняння; x1, x2 , ..., xm — фактори, або незалежні змінні, що визнача- ють поведінку Y. Змінна u містить ту частину руху Y, що не пояс- нюється змінними x1, x2 , ..., xm , і має випадковий характер. Символ f відображує аналітичний вид зв’язку між досліджуваними змінними. Означення 1.3. Процес опису явища чи процесу, тобто вибір ана- літичної форми моделі, називається специфікацією моделі. Іншими словами, специфікація моделі — це аналітична форма залежності між економічними показниками. Незалежні змінні x1, x2 , ..., xm , що задані заздалегідь чи за ме- жами моделі, називаються екзогенними змінними (регресорами). Залежна змінна Y, що визначається як розв’язок рівняння, нази- вається ендогенною змінною (регресандом). Функція f у кожному конкретному випадку окрім змінних x1, x2 , ..., xm і u містить ще щонайменше деякі коефіцієнти, що поєднують змінні у певних співвідношеннях і визначають структуру рівняння. Ці коефіцієн- ти називаються параметрами моделі. Означення 1.4. Визначення значень коефіцієнтів (параметрів) обраної форми статистичного зв’язку змінних на підставі відповідних статистичних даних називається параметризацією рівняння регресії або оцінюванням параметрів. Існує відмінність між змінними та параметрами моделі. Змінні – це економічні величини, що можуть набувати певних значень з дея- кої множини допустимих величин. Параметри — це сталі коефіцієн- ти. Хоча вони не завжди відомі, та все ж у будь-якій ситуації вони мають фіксоване значення. Параметри можна назвати “незмінними” (інколи відомими, інколи невідомими), що пов’язують змінні в рів- няннях. Ці рівняння, а отже, і параметри визначають структуру мо- делі: вони вказують на характер припустимих співвідношень між змінними. Параметри чимось подібні до незалежних (заданих ззовні) змінних, однак між ними є важливі відмінності. Припускається, що параметри залишаються незмінними протягом усього періоду спо- стереження, а екзогенні змінні, безумовно, мають змінюватися з ча- інші — як незалежні. сом. Саме змінювання екзогенних змінних приводить модель у рух, зумовлює перехід системи до нового стану. Зауважимо, що в багатьох економетричних моделях є такі ек- зогенні змінні, які можуть бути змінені керівними органами (дер- жавним регулюванням чи керівництвом фірми). Ці керовані змінні, наприклад державні витрати та податки, є політичними інструментами. Якщо відомо структуру економічного процесу, то державні органи, змінюючи значення таких змінних, могли б ро- бити заданими ендогенні змінні, тобто впливати на подальший роз- виток процесу. Економетричні моделі можуть бути статичними та динамічними. У статичних моделях зв’язки розглядаються у фіксований момент часу і часові зміни в них ролі не відіграють. У динамічній моделі, нав- паки, взаємозв’язки вивчаються в розвитку й час є необхідним фак- тором змін. Моделі розрізняють також за рівнем агрегування змінних (мікро- чи макроекономічні показники), за способом відображення змінних (у постійних чи поточних цінах, у абсолютних значеннях чи прирос- тах показників), за кількістю змінних (одно- чи багатофакторні мо- делі), за кількістю рівнянь (одне чи кілька), за часом спостережень (річні, квартальні чи місячні дані). Класифікують моделі також за призначенням та метою викорис- тання (аналітичні, імітаційні, прогностичні). 1.4. Статистична база економетричних досліджень Будь-яке економетричне дослідження завжди поєднує теорію (ма- тематичні моделі) і практику (статистичні дані). За допомогою мо- делей описують і пояснюють процеси, що вивчаються, а статистичні дані використовують для побудови та обгрунтування моделей. Без конкретних кількісних даних, що характеризують функціонування економічного об’єкта, не завжди можна визначити практичну зна- чущість певної моделі. Економічні дані звичайно поділяють на два види: перехресні дані та часові ряди. Перехресними є дані за якимось економічним показ- ником, що отримані для різних однотипних об’єктів (фірм, регіонів). Причому дані отримано в один і той самий момент часу або часова приналежність несуттєва. Часові ряди характеризують один і той самий об’єкт, але в різні моменти часу. Наприклад, дані бюджетних досліджень населення в певний момент часу є перехресними, а дина- міка рівня інфляції за певний період відображується часовими ряда- ми. Послідовні значення часових рядів можуть бути пов’язані між собою певними залежностями: спостерігаються деякі закономірності у відхиленнях від загальної тенденції розвитку чи виявляються ча- сові зсуви показників (часові лаги). Тому методи обробки таких да- них дещо відрізняються від методів, що застосовуються для обробки перехресних даних. Метою збирання статистичних даних є побудова інформаційної бази для прийняття рішень. Природно, що аналіз даних і прийняття рішень здійснюються на підставі деякої інтуїтивної (неявної) або кількісної (явної) економічної моделі. Тому збирають саме дані, що стосуються певної моделі. Їх можна отримати опитуванням, анкету- ванням, інтерв’юванням або із джерел офіційної статистичної звіт- ності. Кожний показник, отриманий одним із зазначених способів, називається спостереженням. Будь-які економічні дані є кількісними характеристиками еко- номічних об’єктів. Вони формуються під дією багатьох факторів, які не завжди можна проконтролювати ззовні. Неконтрольовані факто- ри можуть набувати випадкових значень з деякої множини допус- тимих значень і тим самим зумовлювати випадковість даних. Сто- хастична природа економічних даних вимагає застосування спеціальних адекватних їм статистичних методів для їх аналізу та обробки. При підготовці статистичних даних для роботи з певною модел- лю необхідно забезпечити відповідність цих даних моделі та спільну методичну базу для їх оцінювання. Дані мають утворювати взаєм- но узгоджений набір, тобто якщо вимірювання здійснюється в гро- шових одиницях, то це мають бути поточні або фіксовані (одного й того самого року) ціни. Реальним об’ємним показникам (тобто у фіксованих цінах) мають відповідати реальні відносні показни- ки (наприклад, процентні ставки слід скоригувати відносно темпу інфляції). Залежно від поставлених завдань вибирають узагальнені показники: валовий внутрішній продукт, валові внутрішні збере- ження тощо. Відсутні статистичні дані здебільшого можуть бути розраховані за іншими показниками, якщо між ними існує певна функціональна залежність. Наприклад, інфляція розраховується за даними про дефлятор, і навпаки. самий об’єкт, але в різні моменти часу. Наприклад, дані бюджетних досліджень населення в певний момент часу є перехресними, а дина- міка рівня інфляції за певний період відображується часовими ряда- ми. Послідовні значення часових рядів можуть бути пов’язані між собою певними залежностями: спостерігаються деякі закономірності у відхиленнях від загальної тенденції розвитку чи виявляються ча- сові зсуви показників (часові лаги). Тому методи обробки таких да- них дещо відрізняються від методів, що застосовуються для обробки перехресних даних. Метою збирання статистичних даних є побудова інформаційної бази для прийняття рішень. Природно, що аналіз даних і прийняття рішень здійснюються на підставі деякої інтуїтивної (неявної) або кількісної (явної) економічної моделі. Тому збирають саме дані, що стосуються певної моделі. Їх можна отримати опитуванням, анкету- ванням, інтерв’юванням або із джерел офіційної статистичної звіт- ності. Кожний показник, отриманий одним із зазначених способів, називається спостереженням. Будь-які економічні дані є кількісними характеристиками еко- номічних об’єктів. Вони формуються під дією багатьох факторів, які не завжди можна проконтролювати ззовні. Неконтрольовані факто- ри можуть набувати випадкових значень з деякої множини допус- тимих значень і тим самим зумовлювати випадковість даних. Сто- хастична природа економічних даних вимагає застосування спеціальних адекватних їм статистичних методів для їх аналізу та обробки. При підготовці статистичних даних для роботи з певною модел- лю необхідно забезпечити відповідність цих даних моделі та спільну методичну базу для їх оцінювання. Дані мають утворювати взаєм- но узгоджений набір, тобто якщо вимірювання здійснюється в гро- шових одиницях, то це мають бути поточні або фіксовані (одного й того самого року) ціни. Реальним об’ємним показникам (тобто у фіксованих цінах) мають відповідати реальні відносні показни- ки (наприклад, процентні ставки слід скоригувати відносно темпу інфляції). Залежно від поставлених завдань вибирають узагальнені показники: валовий внутрішній продукт, валові внутрішні збере- ження тощо. Відсутні статистичні дані здебільшого можуть бути розраховані за іншими показниками, якщо між ними існує певна функціональна залежність. Наприклад, інфляція розраховується за даними про дефлятор, і навпаки. Отже, формуючи сукупність спостережень, слід забезпечити по- рівнянність даних у просторі та часі. Це означає, що дані вхідної су- купності повинні мати: · однаковий ступінь агрегування; · однорідну структуру одиниць сукупності; · одні й ті самі методи розрахунку показників у часі чи просторі; · однакову періодичність обліку окремих змінних; · порівнянні ціни та однакові інші зовнішні економічні умови. Висновки, які можна зробити в результаті економетричного мо- делювання, цілком зумовлені якістю вхідних даних, а саме їх повно- тою та достовірністю. 1.5. Особливості математичного моделювання економічних систем В економіко-математичному аналізі інформація формується, як правило, у результаті спостереження за об’єктом дослідження. При отримуванні, оцінюванні та використанні цієї інформації слід мати на увазі важливі специфічні риси джерела даних. Суттєве значення мають стохастичні (випадкові) фактори, які ви- являються у впливі на економіку як з боку природи та суспільства, так і у внутрішньоекономічних зв’язках. Через складність і ди- намічність техніко-економічних, особливо соціально-економічних, процесів попередній розрахунок економічних показників можливий лише з певним рівнем довіри. Водночас величезні масштаби економічної системи, розгалу- женість зв’язків між її елементами та відома інерційність значною мірою зумовлюють майбутній її стан попереднім. Тому розвиток си- стеми можна передбачити з великою мірою впевненості. В означеній ситуації найприйнятнішими методами досліджен- ня є методи математичної статистики, адаптовані до економічних явищ. Саме ці методи дають змогу будувати економетричні моделі та оцінювати їх параметри, перевіряти гіпотези стосовно власти- востей економічних показників і форм зв’язку між ними. Однак особливість економетричного підходу до моделювання економіч- них об’єктів полягає не у використанні економічної термінології, а насамперед у детальному дослідженні відповідності вибраної моделі явищу, що вивчається, а також в аналізі якості статистич- ної інформації, що є основою параметризації (оцінювання пара- метрів) моделей Контрольні запитання 1. Що таке математична модель економічного об’єкта? 2. Назвіть типи математичних моделей і відмінності між ними. 3. До якого типу математичних моделей належить економетрич- на модель? 4. Поясніть сутність кореляційних зв’язків між економічними по- казниками. 5. З яких елементів складається економетрична модель? 6. Які вимоги висуваються до статистичної бази економетричних досліджень? Розділ 2. МОДЕЛІ ПАРНОЇ РЕГРЕСІЇ ТА ЇХ ДОСЛІДЖЕННЯ 2.1. Приклади парних зв’язків в економіці Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих і стабільних зв’язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту — від цін на товари, залежність між процентною ставкою та інвестиціями, об- мінним курсом валюти та обсягом чистого експорту, між рівнями без- робіття та інфляції, залежність обсягу виробництва від окремих фак- торів (розміру основних фондів, їх віку, підготовки персоналу тощо); залежність між продуктивністю праці та рівнем механізації, а також багато інших залежностей. Здебільшого залежність між показниками можна відобразити за допомогою лінійних співвідношень. Наприклад, для моделювання залежності індивідуального спожи- вання С від наявного прибутку Y Кейнс запропонував лінійне рів- няння C = c0 + bY , де c0 — величина автономного споживання; b — гранична схильність до споживання (0 < b \x2264 1). Однак припущення щодо лінійної залежності між певними показ- никами економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників. І це природно, оскільки в дея- ких випадках залежність є суттєво нелінійною. Наприклад, залеж- ність між рівнем безробіття x і рівнем інфляції y відображається так званою кривою Філіпса: a y= , x-b де a > 0, b > 0 — параметри моделі, а змінні x і y вимірюються у процентах. При незмінній річній дисконтній (обліковій) ставці r і по- чатковому внеску a через x років у банку наявна сума грошей об- числюватиметься за формулою y = a(1 + r)x , де a, y — параметри моделі. При маркетингових і ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гом- перця: abx +c y=e , де параметри a та c можуть набувати будь-яких значень, а b перебу- ває в таких межах: 0 < b < 1. Зв’язок між обсягом виробленої продукції y та основними вироб- ничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капіталу C і обсягом витрат праці L, також має нелінійний характер: y = dCa, y = cLb , a, b, c, d — числові параметри; c, d > 0, a, b \x2265 0. Нелінійні зв’язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або ап- роксимують (наближують) лінійними функціями. Отже, модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпошире- нішим (і найпростішим) видом залежності між економічними змінни- ми. Крім того, побудоване лінійне рівняння може слугувати почат- ковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей. 2.2. Лінійна модель з двома змінними У загальному випадку парна лінійна регресія є лінійною функцією між залежною змінною Y і однією пояснюючою змінною Х: Y = a0 + a1X . (2.1) Співвідношення (2.1) називається теоретичною лінійною регре- сійною моделлю; a0 і a1 — теоретичні параметри (теоретичні коефі- цієнти) регресії. Зазначимо, що принциповою в цьому разі є лінійність за парамет- рами a0 і a1 рівняння (2.1). Щоб визначити значення теоретичних коефіцієнтів регресії, необ- хідно знати й використовувати всі значення змінних Х і Y генераль- ної сукупності, що практично неможливо. Тому за вибіркою обмеже- ного обсягу будують так зване емпіричне рівняння регресії, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефіцієнтів регресії: \x02C6\x02C6 Y = a0 + a1X, \x02C6 (2.2) де a0 і a1 — оцінки невідомих параметрів a0 і a1 . \x02C6 \x02C6 Через розбіжність статистичної бази для генеральної сукупності \x02C6 \x02C6 та вибірки оцінки a0 і a1 практично завжди відрізняються від дійсних значень коефіцієнтів a0 і a1, що призводить до розбіжності емпіричної та теоретичної ліній регресії. Різні вибірки з однієї й тієї самої генеральної сукупності звичайно зумовлюють різні оцінки. Можливе співвідношення між теоретичним і емпіричним рівнян- нями регресії схематично зображено на рис. 2.1. M (Y | X ) = a0 + a1 X \x02C6\x02C6\x02C6 Y = a0 + a1X Рис. 2.1 Задачі лінійного регресійного аналізу полягають у тому, щоб за на- явними статистичними даними ( xi , yi ), i = 1, 2, ..., n, для змінних Х і Y: \x02C6  \x02C6 а) отримати найкращі оцінки a0, a1 невідомих параметрів a0 і a1 : б) перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі; в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зі статистич- ними даними (адекватність моделі даним спостережень). Для відображення того факту, що кожне індивідуальне значення yi відхиляється від відповідного умовного математичного сподіван- ня, у модель уводять випадковий доданок ui: yi = M (Y | X = xi ) + ui = a0 + a1 xi + ui . Отже, індивідуальні значення yi подають у вигляді суми двох компонент — систематичної (a0 + a1 xi ) і випадкової (ui ). Причина появи останньої досить докладно розглядалася раніше. Таким чином, регресійне рівняння набуває вигляду Y = a0 + a1X + u . (2.3) Завдання полягає в тому, щоб за конкретною вибіркою ( xi , yi ), i = 1, 2, K , n, знайти такі значення оцінок невідомих параметрів a0 і a1 , щоб побудована лінія регресії була найкращою в певному розумінні серед усіх інших прямих. Іншими словами, побудована пряма має бути “найближчою” до точок спостережень за їх сукупністю. Мірою якості знайдених оцінок можуть бути визначені композиції відхилень ui , i = 1, 2, ..., n. Наприклад, коефіцієнти a0 і a1 рівняння регресії можуть бути оцінені за умови мінімізації однієї з таких сум: n n n \x2211  ui = \x2211  ( yi - yi ) = \x2211  ( yi - a0 - a1 xi ) ; 1) (2.4) \x02C6 \x02C6 \x02C6 i =1 i =1 i =1 n n n \x2211 ui = \x2211 yi - yi = \x2211 yi - a0 - a1 xi ; 2) (2.5) \x02C6 \x02C6 \x02C6 i =1 i =1 i =1 n n n 3) \x2211 = \x2211  ( yi - yi ) = \x2211  ( yi - a0 - a1 xi )2. ui2 2 (2.6) \x02C6 \x02C6 \x02C6 i =1 i =1 i =1 Однак перша сума не може бути мірою якості знайдених оцінок n \x2211  ui =0 через те, що існує безліч прямих (зокрема, Y = y ), для яких i =1 (доведення цього твердження виноситься як вправа). Метод визначення оцінок коефіцієнтів за умови мінімізації дру- гої суми називається методом найменших модулів (МНМ). Найпоширенішим і теоретично обґрунтованим є метод визначен- ня коефіцієнтів, при якому мінімізується третя сума. Він дістав на- зву методу найменших квадратів (МНК). Останній метод оцінювання параметрів найпростіший з обчис- лювальної точки зору. Крім того, оцінки коефіцієнтів регресії, знайдені за МНК при визначених передумовах, мають ряд опти- мальних властивостей (незміщеність, ефективність, обгрунто- ваність). Серед інших методів визначення оцінок коефіцієнтів регресії ви- окремимо метод моментів (ММ) і метод максимальної правдоподіб- ності (ММП). 2.3. Метод найменших квадратів Нехай за вибіркою ( xi , yi ), i = 1, 2, K, n, потрібно визначити оцін- \x02C6 ки a0 і a1 емпіричного рівняння регресії (2.2), тобто підібрати такі \x02C6 значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною (рис. 2.2). Рис. 2.2 n \x2211  ui2 \x02C6 є квадратичною функцією двох параметрів a0 У цьому разі i =1 \x02C6 і a1 , оскільки xi , yi (i = 1, 2, K, n) — відомі дані спостережень: n n n \x2211 = \x2211  ( yi - yi ) = \x2211  ( yi - a0 - a1 xi )2 . ui2 = Q(a0 , a1) 2 \x02C6\x02C6 \x02C6 \x02C6 \x02C6 i =1 i =1 i =1 Неважко помітити, що квадратична функція Q неперервна, опук- ла та обмежена знизу (Q \x2265 0), тобто має мінімум. Необхідною умовою існування мінімуму неперервно диференці- йованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних: \xF8F1 \x2202Q \xF8F4 \x2202a = -2\x2211  ( yi - a0 - a1 xi ) = 0; \x02C6 \x02C6 \xF8F4 \x02C60 \x21D2 (2.7) \xF8F2 \xF8F4 \x2202Q = -2\x2211  ( y - a - a x ) x = 0; \x02C60  \x02C61 i   i i \xF8F4 \x2202a1 \xF8F3 \x02C6 \xF8F1na0 + a1 \x2211 xi = \x2211 yi ; \xF8F4 \x02C6 \x02C6 (2.8) \xF8F2 \xF8F4a0 \x2211 xi + a1 \x2211 xi = \x2211 xi yi . 2 \x02C6 \x02C6 \xF8F3 Поділивши обидва рівняння системи (2.8) на n, отримаємо \xF8F1 xy - x \x22C5 y \xF8F1a0 + a1 x = y; \x02C6 \x02C6 \xF8F4a1 =   2 \x02C6 ; \xF8F4 \x21D2\xF8F2 \xF8F2 2 (2.9) x -x a0 x + a1 x2 = xy \x02C6 \x02C6 \xF8F4 \xF8F4 \xF8F3 \xF8F3a0 = y - a1 x. \x02C6 \x02C6 1 1 1 1 \x2211 xi , x2 = \x2211 xi , y = \x2211 yi , xy = \x2211 xi yi . 2 Тут x = n n n n n У наступних формулах для спрощення знаки сум ( \x2211 ) запи- n=1 суватимемо без індексів, допускаючи, що додавання виконується від і = 1 до і = n. Також для змінних з індексом і розумітимемо, що i = 1, 2,K , n (якщо не зазначено інше). \x02C6 Отже, згідно з МНК оцінки параметрів a0 та a1 визначаються за \x02C6 формулами (2.9). Неважко помітити, що a1 можна обчислити за формулою \x2211  ( xi - x)(yi - y) = Sxy , a1 = \x02C6 (2.10) \x2211  ( xi - x)2 2 Sx 1 \x2211  (xi - x )(yi - y ) — вибірковий кореляційний де Sxy = cov(x, y) = n 1 1 2 момент випадкових величин Х і Y; Sx = \x2211  ( xi - x ) = \x2211 xi2 - x  2 — 2 n n 2 вибіркова дисперсія Х; Sx = Sx — стандартне відхилення Х. Тоді Sxy Sxy Sy Sy (2.11) a1 = = = rxy \x02C6 , 2 Sx Sy Sx Sx Sx де rxy — вибірковий коефіцієнт кореляції; Sy — стандартне відхилен- ня Y. Отже, коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнти пропорційності використовують для зіставлення різних величин Х і Y. Таким чином, якщо коефіцієнт кореляції rxy уже розрахований, то за формулою (2.11) неважко знайти коефіцієнт a1 парної регресії. \x02C6 ) Якщо окрім рівняння регресії Y на Х (Y = a0 + a1X ) для тих \x02C6 \x02C6 самих емпіричних даних знайдено рівняння регресії Х на Y ) \x02C6 \x02C6 \x02C6 2 (X = b + b Y), то добуток коефіцієнтів a та b дорівнює rxy : \x02C6 1 0 1 1 \x02C6 = r  Sy \x22C5 r  Sx = r  2 . a1 \x22C5 b1 \x02C6 xy xy xy Sx Sy \x02C6 \x02C6 Зазначимо, що коефіцієнти b0 і b1 обчислюються за формулами, аналогічними формулам (2.9): \xF8F1\x02C6 xy - x \x22C5 y \xF8F4b1 =   2 ; \xF8F4 2 y -y \xF8F2 (2.12) \xF8F4\x02C6 \x02C6 \xF8F4b0 = x - b1 y. Властивості оцінок параметрів Отримані результати, зокрема формули (2.9) і (2.12), дають змо- гу зробити ряд висновків. 1. Оцінки МНК є функціями від вибірки. 2. Оцінки МНК є точковими оцінками теоретичних коефіцієнтів регресії. 3. Відповідно до другої формули співвідношення (2.9) емпірич- на пряма регресії обов’язково проходить через точку ( x, y ). 4. Емпіричне рівняння регресії побудоване в такий спосіб, що n \x2211  ui, сума відхилень а також середнє значення відхилення i =1 n 1 \x2211  ui дорівнюють нулю (показати самостійно). u= n i =1 5. Випадкові відхилення ui некорельовані зі спостереженими зна- ченнями yi залежної змінної Y. Для підтвердження цього висновку необхідно показати, що кова- ріація між Y і u дорівнює нулю, тобто Syu = 0. 6. Випадкові відхилення ui некорельовані зі спостереженими зна- ченнями xi незалежної змінної Х і з оціненими за лінійною регре- \x02C6 сійною моделлю значеннями залежної змінної Y . Щоб підтвердити даний висновок, необхідно показати, що коварі- ація між X і u дорівнює нулю, тобто Sxu = 0, Syu = 0. \x02C6 (Доведення пп. 5 і 6 виконати самостійно.) Зауважимо, що в класичній лінійній економетричній моделі змінна u розглядається як випадкова змінна з нульовим математич- ним сподіванням і сталою дисперсією. Оскільки u охоплює вплив багатьох неврахованих факторів, які можна вважати незалежними, то на підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей роб- лять висновок, що ця випадкова величина підпорядкована нормаль- ному закону розподілу (закону Гаусса). Доведено (теорема Гаусса), що застосування методу найменших квадратів можливе лише тоді, коли залишки розподілені нормально з параметрами M (U ) = 0, D [U ] = \x03C32 = const. u Для ілюстрації МНК розглянемо такий приклад. Приклад. Для аналізу залежності обсягу споживання Y (у. о.) до- могосподарства від наявного прибутку X (у. о.) обрано вибірку обся- гу n = 12 (щомісячно впродовж року), результати якої наведені в табл. 2.1. Необхідно визначити вид залежності; за МНК оцінити па- раметри рівняння регресії Y і Х; оцінити силу лінійної залежності між Х і Y ; а також спрогнозувати споживання при прибутку X = 160. Таблиця 2.1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 150 yi 102 105 108 110 115 117 119 125 132 130 141 144 Для визначення виду залежності побудуємо кореляційне поле (рис. 2.3). Рис. 2.3 За розміщенням точок на кореляційному полі припускаємо, що \x02C6\x02C6 залежність між X і Y лінійна: Y = a0 + a1 X ; a0 , a1 — оцінки невідомих \x02C6 \x02C6\x02C6 параметрів моделі. Для наочності розрахунків за МНК складемо табл. 2.2. Згідно з МНК маємо \xF8F1 xy - x \x22C5 y  15298,08 - 125,25 \x22C5 120,67  184,1625 \xF8F4a1 =   2 = = = 0,9339; \x02C6 2 197,1875 15884,75 - (125,25) \xF8F2 2 x -x \xF8F4 \xF8F3a0 = y - b1 x = 120,67 = 0,9339 \x22C5 125,25 = 3,699. Отже,  рівняння  парної  лінійної  регресії  має  вигляд \x02C6 Y = 3,699 + 0,9339X . Зобразимо цю пряму регресії на кореляційному полі. За наведеним рівнянням розрахуємо yi , а також ui = yi - yi . \x02C6 \x02C6 Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт ко- реляції: xy - x \x22C5 y 184,1625 rxy = = = 0,9914. 14,04 \x22C5 13,23 x2 - x  2 \x22C5 y2 - y2 Отримане значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити вис- новок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними X і Y. Це також підтверджується розміщенням точок на кореляційному полі. Таблиця 2.2 xi2 yi2 ei2 i yi xi yi ei xi ^ yi 1 107 102 11449 10914 10404 103,63 –1,36 2,66 2 109 105 11881 11445 11025 105,49 –0,49 0,24 3 110 108 12100 11880 11664 106,43 1,57 2,46 4 113 110 12769 12430 12100 109,23 0,77 0,59 5 120 115 14400 13800 13225 115,77 –0,77 0,59 6 122 117 14884 14274 13689 117,63 –0,63 0,40 7 123 119 15129 14637 14161 118,57 0,43 0,18 8 128 125 16384 16000 15625 123,24 1,76 3,10 9 136 132 18496 17952 17424 130,71 1,29 1,66 10 140 130 19600 18200 16900 134,45 –4,45 19,8 11 145 141 21025 20445 19881 139,11 1,89 3,57 12 150 144 22500 21600 20736 143,78 0,22 0,05 \x2248 0** Сума 1503 1448 190617 183577 176834 — 35,3 Середнє* 125,25 120,67 15884,75 15298,08 14736,17 * Значення округлюються до сотих. ** Ураховуються похибки округлень. Прогнозоване споживання при доступному доході Х = 160 за да- ною моделлю становить y(160) \x2248 153,12. \x02C6 Побудоване рівняння регресії в будь-якому разі потребує певної інтерпретації та аналізу. Інтерпретація, тобто словесний опис отриманих результатів, необ- хідна для того, щоб побудована залежність набула якісного економіч- ного змісту. \x02C6 У нашому прикладі коефіцієнт a1 може розглядатися як гранич- на схильність до споживання. Фактично він показує, на яку величи- ну зміниться обсяг споживання, якщо доступний дохід збільшиться \x02C6 на одиницю. На графіку (рис. 2.3) коефіцієнт a1 визначає тангенс кута нахилу прямої регресії відносно додатного напрямку осі абсцис (пояснюючої змінної). Тому часто він називається кутовим коефіцієн- том. Вільний член a0 рівняння регресії визначає прогнозоване значен- \x02C6 ня Y при величині наявного прибутку Х, що дорівнює нулю (тобто автономне споживання). Однак тут необхідна певна обережність. Важливо, наскільки віддалені дані спостережень за пояснюючою змінною від осі ординат (залежної змінної), тому що навіть при вда- лому виборі рівняння регресії для досліджуваного інтервалу немає гарантії, що вона залишиться такою самою й віддалік від вибірки. У нашому випадку значення a0 = 3,699 (у. о.). Цей факт можна пояс- \x02C6 нити для окремого домогосподарства (воно може витрачати накопи- чені або позичені кошти), однак для комплексу домогосподарств він \x02C6 втрачає сенс. У будь-якому разі значення коефіцієнта a0 визначає точку перетину прямої з віссю ординат і характеризує зсув лінії регресії вздовж осі Y. \x02C6 \x02C6 Необхідно пам’ятати, що емпіричні коефіцієнти регресії a0 і a1 є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів a0 та a1, а саме рівняння відображає лише загальну тенденцію в поведінці розглянутих змінних. Індивідуальні значення змінних з різних причин можуть відхилятися від модельних значень. У нашому прикладі ці відхилення виражені через значення ui, які є оцінками відповідних відхилень для генераль- ної сукупності. Однак за певних умов рівняння регресії є незамінним і дуже якіс- ним інструментом аналізу та прогнозування. Ці теми обговорювати- муться в наступних розділах. Контрольні запитання 1. Що таке функція регресії? 2. Чим регресійна модель відрізняється від функції регресії? 3. Назвіть основні причини наявності в регресійній моделі випад- кового відхилення. 4. Назвіть основні етапи регресійного аналізу. 5. У чому полягає відмінність між теоретичним та емпіричним рівняннями регресії? 6. Дайте визначення теоретичної регресійної моделі. 7. У чому суть методу найменших квадратів? 8. Наведіть формули розрахунку коефіцієнтів емпіричного пар- ного лінійного рівняння регресії за МНК. 9. Як пов’язані емпіричні коефіцієнти лінійної регресії з вибір- ковим коефіцієнтом кореляції між змінними рівняння регресії? 10. Які висновки можна зробити про оцінки коефіцієнтів регресії та випадкового відхилення, отриманих за МНК? 11. Проінтерпретуйте коефіцієнти емпіричного парного лінійного рівняння регресії. Вправи та завдання 1. Чи існує, на вашу думку, залежність між такими показниками: а) ВВП і обсягом чистого експорту; б) обсягом інвестувань і відсотковою ставкою; в) видатками на оборону та видатками на освіту; г) оцінками в школі та оцінками в університеті; д) обсягом імпорту та прибутком на душу населення; е) ціною на каву та ціною на чай? У разі ствердної відповіді оцініть напрямок залежності (пряма чи обернена), а також зазначте, яка із змінних буде пояснюючою, а яка — залежною. 2. У наступній вибірці подано дані щодо ціни Р деякого блага й кількості Q цього блага, яке домогосподарство купує щомісяця впро- довж року. Місяць  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Р 10 20 15 25 30 35 40 35 25 40 45 40 Q 110 75 100 80 60 55 40 80 60 30 40 30 а. Побудуйте кореляційне поле і за його виглядом визначте формулу залежності між P і Q. б. Оцініть за МНК параметри рівняння лінійної регресії. в. Оцініть вибірковий коефіцієнт кореляції rpq . г. Проінтерпретуйте результати. 3. Дано таблицю тижневого прибутку (Х) і тижневого споживан- ня (Y) для 60 домашніх господарств: X Y 100 60 65 75 85 90 120 70 70 80 85 90 100 140 90 95 95 100 100 120 160 100 110 115 120 125 125 130 180 110 120 120 130 135 140 150 150 200 120 125 130 135 140 150 160 165 220 120 140 145 145 155 165 180 240 150 160 170 190 200 260 140 160 180 210 220 280 180 210 230 а. Для кожного рівня прибутку розрахуйте середнє значення споживання, що є оцінкою умовного математичного сподівання M (Y X = xi ). б. Побудуйте кореляційне поле для даної вибірки. в. Складіть емпіричне лінійне рівняння регресії, використову- ючи всі дані. г. Складіть емпіричне лінійне рівняння регресії, використовую- чи тільки середні значення споживання для кожного рівня прибутку. д. Порівняйте складені рівняння. Яке з них, на ваш погляд, ближче до теоретичного? е. Розрахуйте вибірковий коефіцієнт кореляції для в) і г). Чи буде лінійний зв’язок між даними змінними суттєвим? Відповідь об- грунтуйте. 4. За 10 парами спостережень отримано такі результати: \x2211  xi \x2211  yi \x2211  xi yi = 100; = 200; = 21000; \x2211 xi2 = 12000; \x2211 yi2 = 45000. За МНК оцініть коефіцієнти рівнянь регресії Y на Х і Х на Y. Оцініть коефіцієнт кореляції rxy. 5. Дано таку емпіричну регресійну модель, побудовану за МНК: yt = b0 + b1 xt + et , t = 1, 2,K , T . Доведіть, що = 0; = 0. t =1 t =1 6. Для вибірки обсягу n = 10 отримано такі дані: \x2211  xi = 993,4; \x2211  yi = 531,3; \x2211  xi yi = 53196,61; \x2211 xi2 = 105004,5; rxy = 0,75. Розрахуйте оцінки коефіцієнтів регресії Y на Х і Х на Y. 7. Дано дві регресії, розраховані за 25 річними спостереженнями: а) yt = -30 + 0, 18xt (уt — витрати на житло, хt — прибуток); б) yt = 50 + 4,5t (уt — витрати на житло, t — час). Дайте економічну інтерпретацію побудованих регресій. Чи взає- мопов’язані вони між собою? Розділ 3. ЗАГАЛЬНА ЛІНІЙНА ЕКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ 3.1. Багатофакторні економетричні моделі та їх специфікація У багатьох дослідженнях виявляється, що деяка результативна ознака змінюється під впливом не одного, а кількох факторів. Зокре- ма, аналізуючи економічну діяльність підприємства та прогнозуючи його подальший розвиток, досліджують такі функції: 1) виробничу функцію, що визначає залежність між обсягом ви- робленої продукції та витраченими для цього ресурсами, наприклад основним капіталом і працею; 2) функцію ціни, що дає змогу дослідити, як зміниться ціна то- вару, якщо зміниться обсяг поставок та ціни конкуруючих товарів; 3) функцію попиту, що дає змогу встановити, як зміниться попит на продукцію, якщо змінюватимуться ціна товару, ціни товарів-кон- курентів і доходи споживачів; 4) функцію витрат, що описує залежність середніх витрат на ви- робництві від ціни та кількості виробничих ресурсів; 5) функцію чутливості ринку, яка визначає залежність обсягу збу- ту продукції від витрат на рекламу та індексу “чистоти” виробленої продукції (“екологічного індикатора”); 6) рівняння стратегії підприємства, у якому відображається за- лежність рентабельності підприємства від питомої ваги на ринку то- варів, подібних до тих, які виробляє підприємство, а також від якості товарів, витрат на маркетинг і наукові дослідження, від інвестицій- них витрат тощо. Розглянемо детальніше першу з цих функцій. Будь-яка виробнича система характеризується залежністю між кількістю виробленої в ній продукції та спожитими для цього ресур- сами. Причому певні показники цієї залежності мають деякі випадкові коливання. Залежність між ними, формалізовану у відповідний спосіб у вигляді регресійного рівняння, називають виробничою функцією. Якщо виробнича функція відома, то за кількістю спожитих сис- темою ресурсів можна передбачити кількість виробленої продукції і, навпаки, за заданою кількістю виробленої продукції можна розраху- вати необхідну кількість відповідних ресурсів. У реальних системах неможливо врахувати всі можливі фактори, що впливають на обсяги продукції. Тому розглядають найвизначніші з них і на підставі спостережень за цими факторами та результатом виробни- чої діяльності будують так звану емпіричну виробничу функцію. Отже, виробнича функція – це економетрична модель, яка кількісно описує зв’язок основних результативних показників виробничо-госпо- дарської діяльності з факторами, що визначають ці показники. Виробничі функції можуть мати різні галузі застосування, оскіль- ки принцип “витрати — випуск”, покладений в основу залежності, може бути реалізований як на мікроекономічному, так і на макроеко- номічному рівні. На мікроекономічному рівні за допомогою таких функцій, на- приклад, описують зв’язок між величиною використаного ресурсу протягом року та річним обсягом випуску продукції одного підпри- ємства, однієї галузі чи міжгалузевого виробничого комплексу. Якщо виробничою системою є регіон чи країна загалом, то маємо виробни- чу функцію для макроекономічного рівня. Приклад. Нехай виробничу функцію задано у вигляді f ( x) = axb, де x — величина витраченого ресурсу (наприклад, робочого часу), f ( x) — обсяг випущеної продукції (наприклад, кількість готових ви- робів). Величини a та b — параметри виробничої функції f ( x) . При- чому a та b — додатні числа, а b \x2264 1 . Задана функція f ( x) за малих значень аргументу дає значний приріст, якщо x збільшується на оди- ницю; за великих значень аргументу таке саме збільшення аргументу зумовлює значно менший приріст функції. Ця властивість f ( x) відбиває фундаментальне положення економічної теорії, яке нази- вається законом спадної ефективності, а сама функція є типовим представником однофакторних виробничих функцій. У реальних ситуаціях обсяг випуску продукції визначається, як правило, не одним, а багатьма факторами, тому частіше застосовують багаторесурсні або багатофакторні виробничі функції. Найпошире- нішою серед них є виробнича функція Кобба — Дугласа, яка описує залежність між обсягом виробленої продукції Y і витратами праці L та капіталу . : Y = a. \x03B1 L\x03B2. Множник a і показники степеня \x03B1 та \x03B2 — параметри цієї моделі. Задана в такому вигляді виробнича функція є мультиплікативною (не- лінійною відносно параметрів). Логарифмуванням її можна звести до адитивного (лінійного відносно параметрів) вигляду: ln Y = a + \x03B1 ln . + \x03B2 ln L . Зазначена функція має такі властивості: 1) коефіцієнт \x03B1 показує, на скільки відсотків зміниться обсяг ви- пуску продукції, якщо витрати праці зміняться на 1 %, а витрати ка- піталу залишаться незмінними. Такий показник називається коефіці- єнтом еластичності випуску за витратами праці; 2) коефіцієнт \x03B2 є коефіцієнтом еластичності випуску за витрата- ми капіталу; 3) сума параметрів \x03B1 + \x03B2 описує масштаб виробництва. Якщо ця сума дорівнює одиниці, маємо постійний масштаб вироб- ництва. А це означає, що зі збільшенням обох виробничих ресурсів на одиницю обсяг продукції також зросте на одиницю. Якщо сума менша одиниці, то масштаб виробництва спадний, тобто темпи зрос- тання обсягу продукції нижчі за темпи зростання обсягу ресурсів. Якщо сума перевищує одиницю, маємо зростаючий масштаб: темпи зростання обсягу продукції перевищують темпи зростання обсягу виробничих ресурсів. Параметр a у функції Кобба — Дугласа залежить від одиниць ви- мірювання Y, . та L і також визначається ефективністю виробничого процесу. Отже, економетрична модель виробничої функції дає змогу про- аналізувати виробничу діяльність, щоб визначити шляхи підвищен- ня її ефективності. Обгрунтованість такого аналізу цілковито зале- жить від достовірності моделі та її адекватності відповідному реальному процесу. Вплив багатьох чинників на результативну змінну може бути опи- саний лінійною моделлю y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + u, (3.1) де y — досліджувана (залежна, пояснювана) змінна, або регресанд; x1, x2 , ..., xm  — незалежні, пояснюючі змінні, або регресори; a1 , a2 , ..., am — параметри моделі; u — випадкова складова регресійно- го рівняння. Функція (3.1) є лінійною відносно незалежних змінних і пара- метрів моделі, але саме лінійність за параметрами є більш суттєвою, оскільки це пов’язано з методами оцінювання параметрів. Випадкова складова u є результативною дією всіх неконтрольованих випадкових факторів, що зумовлюють відхилення реальних значень досліджува- ного показника y від аналітичних (обчислених на підставі обраної регресійної залежності). Зрозуміло, що лінійні зв’язки не вичерпують усіх можливих форм залежності між показниками. Тому при дослідженні конкретного еко- номічного явища першочерговим завданням є пошук найточнішої аналітичної форми опису статистичного зв’язку між його показника- ми. Певна форма залежності повинна мати відповідне економічне обгрунтування. Якщо вигляд залежності встановити важко, то за пер- ше наближення до моделі все ж обирають лінійну залежність. Звичайним математичним підходом до розв’язання задач є виокрем- лення специфічних класів задач або зведення задач до деякого класу і застосування відповідних методів розв’язування. Оскільки дослід- ження лінійних функцій має незаперечні переваги перед іншими кла- сами функцій, то нелінійні функції намагаються передусім звести до лінійних. Наприклад, степенева функція aa a y = a0 x1  1 x22 ... xmm після логарифмування набирає вигляду ln y = ln a0 + a1 ln x1 + a2 ln x2 + ... + am ln xm і після заміни ln a0 = a є лінійною відносно параметрів a, a1, ..., an. Показникова функція xx x y = a0a1 1 a2 2 ... amm після логарифмування набирає вигляду ln y = ln a0 + x1 ln a1 + x2 ln a2 + ... + xm ln am і після заміни ln ai = bi , i = 0, 1, 2, ..., m, є лінійною відносно пара- метрів bi. Гіперболічна a1  a2 a +...+  m y = a0 + + x1  x2 xm і квадратична 2 2 2 y = a0 + a1x1 + a2 x2 + ... + am xm 1 або zi = xi2, i = 1, 2, ..., m, зводяться функції заміною змінних zi = xi до лінійного вигляду: y = a0 + a1z1 + a2 z2 + ... + am zm. Зауважимо, що в сучасному економічному аналізі існують залеж- ності, які не зводяться до лінійних елементарними перетвореннями, однак їх параметри можна легко розрахувати спеціальними спроще- ними методами [13]. Оскільки найпоширенішими в економетричному моделюванні є лінійні функції, обгрунтування економетричних методів розгляда- ють, як правило, на базі лінійних моделей. Отже, предметом наших досліджень буде узагальнена багатофак- торна лінійна регресійна модель (3.1). Як зазначалося, узагальнена регресійна модель справджується для всієї генеральної сукупності, а похибка регресії має певний закон роз- поділу. На практиці мають справу з вибірковою моделлю, тобто з такою, яка побудована для деякої вибірки. Параметри вибіркової моделі є випадковими величинами, а їх математичне сподівання дорівнює па- раметрам узагальненої моделі. Щоб визначити параметри узагальне- ної моделі, необхідно за вибіркою отримати якомога кращі їх оцінки, тобто значення, найближчі до параметрів узагальненої моделі. З цією метою використовують метод найменших квадратів (МНК). 3.2. Метод найменших квадратів 3.2.1. Основні припущення Застосування методу найменших квадратів до загальної лінійної багатофакторної моделі (3.1) передбачає наявність таких передумов: 1) кожне значення випадкової складової рівняння ui , i = 1, 2, ..., n, є випадковою величиною і математичне сподівання залишків ui до- рівнює нулю: M (u) = 0; 2) компоненти вектора залишків некорельовані (лінійно неза- лежні) між собою і мають сталу дисперсію: M(uTu) = \x03C32E ; 3) пояснюючі змінні (регресори, фактори моделі) некорельовані із залишками; 4) пояснюючі змінні некорельовані між собою. Порушення першої передумови означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, який не враховано в моделі. Таку ситуацію можна трактувати як помилку специфікації, однак наявність вільно- го члена моделі дає змогу скоригувати модель так, щоб забезпечити виконання першої передумови. Друга передумова означає, що залишки моделі є помилками ви- мірювання. Якщо між компонентами вектора залишків існує кореля- ційна залежність, таке явище називається автокореляцією. Наявність автокореляції в моделі свідчить про існування кореляції між по- слідовними значеннями деякої незалежної змінної або про неврахо- ваний суттєвий фактор, що впливає на залежну змінну і не може бути усунений за рахунок вільного члена моделі. Загальний вплив пояс- нюючих змінних, не врахованих у моделі, може виявитися також у тому, що дисперсія залишків для окремих груп спостережень зміню- ватиметься. Таке явище називається гетероскедастичністю. У будь- якому разі порушення другої передумови впливає на методи оціню- вання параметрів моделі. Наявність залежності між залишками та незалежними змінними найчастіше пов’язана з тим, що в моделі присутні лагові (затримані в часі) змінні або вона будується на базі одночасних структурних рівнянь. Для оцінювання параметрів і в цьому разі застосовують інші методи. Залежність між незалежними змінними може значною мірою впливати на якість оцінок, отриманих за МНК. Якщо між незалеж- ними змінними моделі існують тісні лінійні зв’язки, це явище нази- вають мультиколінеарністю. Моделі, у яких спостерігається мульти- колінеарність, стають надзвичайно чутливими до конкретного набору даних, до специфікації моделі й мають значні відхилення від дійсних значень параметрів узагальненої моделі. Крім розглянутих чотирьох передумов важливе значення має припущення про нормальний розподіл залишків моделі. Це припу- щення забезпечує нормальний розподіл коефіцієнтів регресії й дає змогу використовувати відомі критерії для перевірки статистичних гіпотез відносно отриманих оцінок, а також визначати їх довірчі інтервали. 3.2.2. МНК-оцінки параметрів лінійної регресії та їх основні властивості З теорії ймовірностей відомо (доведено в теоремі Гаусса — Мар- кова), що коли виконуються перелічені передумови, то отримані за допомогою МНК оцінки параметрів регресійного рівняння є незміще- ними, обгрунтованими, ефективними та інваріантними. Наявність таких властивостей оцінок гарантує, що останні не мають систематичної похибки (незміщеність), надійність їх підви- щується зі збільшенням обсягу вибірки (обгрунтованість), вони є найкращими серед інших оцінок параметрів, лінійних відносно ен- догенної змінної (ефективність). Крім того, оцінка перетворених параметрів (оцінка функції від параметра) може бути отримана в результаті аналогічного перетворення оцінки параметра (інваріант- ність). Зокрема, якщо порушується друга передумова МНК (за наявності автокореляції чи гетероскедастичності), то отримані за цим методом оцінки втрачають властивість ефективності, хоча залишаються не- зміщеними та обгрунтованими. Якщо порушується четверта перед- умова, тобто між змінними існують мультиколінеарні зв’язки, це при- зводить до зміщення МНК-оцінок. Застосування моделей, що мають зміщені чи неефективні оцінки, втрачає сенс. 3.2.3. Оцінювання за методом найменших квадратів та інтерпретація результатів Нехай відомо n спостережень незалежних змінних x1, x2 , ..., xm і n спостережень залежної змінної y. Необхідно за МНК оцінити пара- метри a0 , a1, a2 , ..., am лінійної моделі (3.1). Якщо виконуються зазначені раніше передумови, то оцінки пара- метрів можна отримати за таким алгоритмом. 1. Незалежні змінні записати у вигляді матриці X = {x0 , x1, x2 , ..., xm }, де x0 — вектор, складений з n одиниць; x1, x2 , ..., xm — вектори спо- стережень незалежних змінних. 2. Обчислити матрицю X  TX і вектор X  Ty , де X  T — транспоно- вана матриця X, y — вектор спостережень залежної змінної. Зауваження. Транспонована матриця утворюється з вихідної пе- ретворенням рядків у стовпці. 3. Обчислити обернену матрицю (X  TX )-1 . -1 Зауваження. Матриця A  називається оберненою до A, якщо ви- конується співвідношення A-1A = AA-1 = E, де E — одинична мат- риця. 4. Обчислити параметри моделі за формулою a = (X  TX )-1(X  Ty), (3.2) де a — вектор параметрів, a = (a0 , a1, a2 , ..., am )T. Зауваження. Для визначення оцінок параметрів можна скориста- тися будь-яким методом розв’язання системи лінійних рівнянь відносно вектора невідомих змінних: (X  TX )a = X  Ty . Приклад [3]. Підприємство, що складається з багатьох філій, дос- ліджує залежність свого річного товарообігу y (млн у. о.) від торго- вої площі своїх філій x1 (тис. кв. м) і середньоденної інтенсивності потоку покупців (тис. чол./день). Просторові дані за філіями наве- дено в табл. 3.1. Для відображення залежності між цими показниками обирають лінійну регресійну модель y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + u . Таблиця 3.1 Значення y Значення x1 Значення x2 Номер ( yi ) ( x1i ) ( x2i ) філії 1 2,93 0,31 10,24 2 5,27 0,98 7,15 3 6,85 1,21 10,81 4 7,01 1,29 9,89 5 7,02 1,12 13,72 6 8,35 1,49 13,92 7 4,33 0,78 8,54 8 5,77 0,94 12,36 9 7,68 1,29 12,27 10 3,16 0,48 11,01 11 1,52 0,24 8,25 12 3,15 0,55 9,31 У результаті оцінювання параметрів за методом найменших квад- ратів отримано такі оцінки: a0 = -0,832; a1 = 4,743; a2 = 0,175. \x02C6 \x02C6 \x02C6 Оцінки інтерпретуються таким чином. Коефіцієнт a1 = 4,743 озна- чає, що за інших незмінних умов змінна x1 збільшиться (зменшить- ся) на одиницю, залежна змінна y збільшиться (зменшиться) відповід- но на 4,743 одиниці. Зокрема, у наведеному прикладі збільшення (зменшення) торгової площі на 1 тис. кв. м збільшить (зменшить) річний товарообіг на 4,743 млн у. о. Аналогічно, збільшення (змен- шення) середньоденної інтенсивності покупців на 1 тис. чол./день збільшить (зменшить) річний товарообіг на 0,175 млн у. о. 3.3. Верифікація моделі 3.3.1. Показники якості моделі У класичному регресійному аналізі вважається, що функція рег- ресії відома до оцінювання параметрів, тобто регресійна модель спе- цифікована правильно. Однак в емпіричних економічних і соціаль- них дослідженнях не завжди відомо, скільки факторів має бути вве- дено в модель і яка форма залежності краще описує реальні зв’яз- ки. Щоб забезпечити найбільш адекватне відтворення досліджува- ного явища чи процесу, необхідно вибрати регресійну функцію серед багатьох варіантів, використовуючи спеціальні критерії якості мо- делі. Для перевірки коректності побудови моделі визначають насампе- ред: · стандартну похибку рівняння; · коефіцієнт детермінації; · коефіцієнт множинної кореляції; · стандартну похибку параметрів. Зауважимо, що зазначені показники отримують на підставі конк- ретних статистичних даних, тобто кожна з цих характеристик є ви- бірковою характеристикою і тому має бути перевірена на значущість за допомогою спеціальних статистичних критеріїв. Стандартна похибка рівняння (точкова оцінка емпіричної дис- персії залишків) характеризує абсолютну величину розкиду випад- кової складової рівняння і обчислюється за формулою 1 n  2 = \x2211  ui . 2 Su n i=1 Поправка на число ступенів свободи дає незміщену оцінку дис- персії залишків: n 1 \x2211  ui2 . 2 \x03C3u = \x02C6 n - m - 1 i =1 Зрозуміло, що перевага віддається моделям, у яких стандартна похибка рівняння менша порівняно з іншими моделями. Однак така оцінка якості має суттєвий недолік: через те що для неї не визначено верхню межу, порівняння різних моделей за цим критерієм досить проблематичне. Коефіцієнт детермінації R2 показує, яка частина руху залежної змінної описується даним регресійним рівнянням, і обчислюється за формулою 2 Su 2 R =1- , 2 Sy 1 n = \x2211  ( yi - y)2 ; y — середнє значення залежної змінної, 2 Sy де n i =1 1 n y = \x2211 yi . n i =1 На значення коефіцієнта детермінації впливає кількість факторів, що враховано в моделі. Уведення в модель кожної нової змінної збільшує значення коефіцієнта детермінації. Тому щоб запобігти не- виправданому розширенню моделі й мати змогу порівнювати моделі з різною кількістю факторів, уводять спеціальний оцінений ко- ефіцієнт детермінації \x03C32 2 u R =1- , \x03C32 y де \x03C32 — незміщена оцінка дисперсії залишків; \x03C32 — незміщена оцін- y u 1   n \x2211  ( yi - y)2. 2 ка дисперсії залежної змінної, \x03C3  y = n - 1 i =1 Неважко помітити, що обидва коефіцієнти пов’язані такою залеж- ністю: n -1 R2 = 1 - (1 - R2 ) . n - m -1 Обчислений у такий спосіб коефіцієнт детермінації називається 2 скоригованим за Тейлом і позначається RT. Крім того застосовують також коригування за Амемією, яке виконується за формулою n+m R2 = 1 - (1 - R2 ) . n - m -1 Обчислений у такий спосіб коефіцієнт детермінації називається 2 скоригованим за Амемією і позначається RA . 2 2 Обидва коефіцієнти RT і RA враховують той факт, що уведення в модель кожного нового регресора зменшує число ступенів свободи. А для застосування статистичних критеріїв перевірки якості отрима- них результатів ступенів свободи бажано мати якомога більше. 2 Очевидно, для кожного RT і RA виконується нерівність R2 \x2264 R2, 2 тобто зі збільшенням кількості факторів моделі оцінені коефіцієнти детермінації зростають повільніше, ніж R2. Крім того, якщо R2 = 1, то і R2 = 1. Якщо R2 прямує до нуля, оцінені коефіцієнти стають від’ємними. Така властивість скоригованих коефіцієнтів детермінації дає змогу більш об’єктивно оцінювати якість моделей з різною 2 кількістю факторів, причому в разі застосування коефіцієнта RA (скоригованого за Амемією) перевага однозначно віддається рівнян- ню з меншою кількістю регресорів. Зауваження. Коефіцієнт детермінації має ще два рівноцінних оз- начення. За першим, коефіцієнт детермінації R2 дорівнює квадрату емпіричного коефіцієнта кореляції між двома рядами спостережень (теоретичними значеннями регресанда yi та його розрахунковими \x02C6 значеннями yi , i = 1, 2, ..., n) і обчислюється за формулою (\x2211  ( yi - y)( yi - y))2 \x02C6 2 R = . \x2211  ( yi - y) \x2211  ( yi - y) 2 2 \x02C6 За другим, коефіцієнт детермінації R2 дорівнює відношенню суми квадратів відхилень розрахункових значень регресанда від його середнього значення до суми квадратів відхилень спостережених зна- чень регресанда від того самого середнього значення: \x2211  ( yi - y)2 \x02C6 2 = R . \x2211  ( yi - y)2 \x2211 В обох випадках сума обчислюється за всіма спостереження- ми i = 1, 2, ..., n . Коефіцієнт множинної кореляції R (R) визначає міру зв’язку за- лежної змінної з усіма незалежними факторами і є коренем квадрат- ним з відповідного коефіцієнта детермінації: R = R2 ( R = R2 ). Стандартна похибка рівняння, коефіцієнт детермінації та множин- ної кореляції є характеристиками, за якими перевіряється пра- вильність вибору незалежних змінних моделі. При порівнянні регре- сійних рівнянь з різною кількістю незалежних змінних вирішальними критеріями є стандартна похибка рівняння (найменша) та коефіцієнт детермінації (якомога ближчий до одиниці і з більшим числом сту- пенів свободи) 3.3.2. Перевірка значущості та довірчі інтервали Розглянуті показники якості моделі побудовані за даними спо- стережень, тобто є деякими вибірковими характеристиками генераль- ної сукупності. З математичної статистики відомо, що будь-яка ста- тистика (функція від елементів вибірки) має бути перевірена на значущість. Іншими словами, за допомогою спеціальних критеріїв не- обхідно встановити, чи зумовлено значення цієї функції лише похиб- ками вимірювання, чи вона відображає якусь суттєву (значущу) інформацію. Неперевірений статистичний результат є лише деякою гіпотезою, яка може бути прийнята чи відхилена. Нагадаємо, що перевірка гіпотез у загальному випадку виконуєть- ся в такому порядку: для кожної задачі добирається деяка випадкова величина, що має відомий чи близький до відомого закон розподілу. Функція від елементів вибірки є конкретною реалізацією цієї випад- кової величини. Зауваження. У задачах регресійного аналізу важливе значення має припущення про нормальний розподіл випадкових величин, що заді- яні в даній моделі. Певні перетворення нормально розподілених вели- чин забезпечують їх розподіл за законом Стьюдента чи за законом Фішера: на підставі першого з них визначаються довірчі інтервали, а другий дає змогу оцінювати відношення двох випадкових величин. Стосовно кожного статистичного результату висувається так зва- на нульова гіпотеза (про рівність нулю деякої випадкової величини) і альтернативна до неї гіпотеза (про її суттєву відмінність від нуля). У нульовій гіпотезі формулюють результат, який бажано відхилити, а в альтернативній, яка інакше називається експериментальною, — той, що його необхідно підтвердити. Зауваження. Рівність двох величин у загальному випадку може розглядатися як рівність нулю їх різниці. За заданим рівнем значущості множина допустимих значень роз- бивається на дві неперетинні множини: одна містить значення випад- кової величини, імовірність досягнення яких перевищує заданий рівень значущості, а інша — критична область — визначає ті значен- ня, що досягаються рідко (імовірність потрапити до такої області нижча від заданого рівня), і розташована вона, як правило, на “хвос- тах розподілу”. Залежно від альтернативної гіпотези критична область може склада- тися з одного чи двох проміжків на числовій осі. Це буде один проміжок (правий чи лівий “хвіст” розподілу), якщо зазначається напрямок не- рівності (більше або менше деякої величини), і два проміжки (обидва “хвости” розподілу), якщо встановлюється нерівність (не дорівнює певній величині). За даними спостережень обчислюється значення відповідної ста- тистики — функції від елементів вибірки. Якщо ця величина потрап- ляє до критичної області, це означає, що сталася практично немож- лива подія, тобто подія, що має дуже малу ймовірність, а отже, від нульової гіпотези слід відмовитися і віддати перевагу альтернативній. Якщо обчислене значення статистики не потрапило до критичної об- ласті, роблять висновок, що дана вибірка не суперечить нульовій гіпо- тезі, тобто неправильною є експериментальна гіпотеза. При перевірці гіпотез може бути допущена помилка, наприклад може бути відхилена нульова гіпотеза, хоча насправді вона правиль- на (помилка першого роду), або ж, навпаки, нульова гіпотеза може бути прийнята, хоча вона неправильна (помилка другого роду). На це слід зважати при формулюванні статистичного висновку. Якщо значення R2 “близьке” до одиниці, вважається, що регресійне рівняння досить правильно відбиває наявний зв’язок між залежною та незалежними змінними моделі. Якщо значення R2 “близьке” до нуля, регресійна модель неправильна. Постає питання, як визначити цю “близькість”? Для цього необхідно застосувати відповідний статистич- ний критерій, який дасть змогу встановити, чи суттєво відрізняється R2 від нуля, чи ця відмінність пов’язана з особливостями конкретних даних, тобто зумовлена лише похибками вимірювань. Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта детермінації R2 висувається нульова гіпотеза H0 : R2 = 0 . Це означає, що досліджу- ване рівняння не пояснює змінювання регресанда під впливом відпо- відних регресорів. У такому разі всі коефіцієнти при незалежних змінних мають дорівнювати нулю. При цьому нульову гіпотезу мож- на подати у вигляді H0 : a1 = a2 = ... = an = 0. Альтернативною до неї є HA: значення хоча б одного параметра моделі відмінне від нуля, тобто хоча б один із факторів впливає на змінювання залежної змінної. Для перевірки цих гіпотез застосовують .-критерій Фішера з m і n - m - 1 ступенями свободи. За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R2 обчислюють експериментальне значен- ня .-статистики: R2 n - m -1 , .експ = \x22C5 1 - R2 m яке порівнюють з табличним значенням розподілу Фішера при зада- ному рівні значущості \x03B1 (як правило, \x03B1 = 0,05 або \x03B1 = 0,01). Якщо .табл < .експ, нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий ко- ефіцієнт у регресійному рівнянні, який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор впливає на досліджувану змінну. Відхи- лення нуль-гіпотези свідчить про адекватність побудованої моделі. У протилежному випадку модель вважається неадекватною. Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряєть- ся на значущість за допомогою t-критерію Стьюдента. Фактичне зна- чення t-статистики обчислюється за формулою R n - m -1 tексп = 1 - R2 і порівнюється з табличним значенням t-розподілу з n - m - 1 ступе- нями свободи та при заданому рівні значущості \x03B1/2 (такий рівень зу- мовлений тим, що критична область складається з двох проміжків). Якщо абсолютна величина експериментального значення t-статисти- ки перевищує табличне, тобто t > tтабл , можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна- чущий), а зв’язок між залежною змінною та всіма незалежними фак- торами суттєвий. Окрім загальних показників адекватності моделі існують також оцінки, що дають змогу встановити якість окремих частин рівняння, зокрема одного чи кількох коефіцієнтів регресії. Як і в попередніх випадках, рішення відносно якості коефіцієнтів приймають на основі відповідних статистичних критеріїв. На підставі одного з найважливіших припущень МНК — припу- щення про нормальний розподіл випадкової складової рівняння з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією — дове- дено, що кожний параметр лінійної регресії також має нормальний розподіл. Причому математичне сподівання параметра дорівнює зна- ченню параметра узагальненої регресії, а дисперсія — незміщеній дис- персії випадкової складової рівняння, помноженій на відповідний діа- гональний елемент оберненої матриці (X  TX )-1. Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере- вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд H0 : a  j = 0 , альтернативна НA : a  j \x2260 0 . Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделі обчислюється за формулою aj ai tj = = , Sa j \x03C32 c  jj u де c  jj — діагональний елемент матриці (X  T X)-1 ; Sa — стандартизо- j вана похибка оцінки параметра моделі, Sa  j = \x03C3u c  jj . Експериментальне значення t  j -критерію порівнюється з таблич- ним значенням tтабл з  n - m - 1 ступенями свободи при заданому рівні значущості \x03B1/2 (критична область розбивається на два фрагмен- ти, межі яких задаються квантилем \x03B1/2). Якщо значення t j-статисти- ки потрапляє до критичної області (за абсолютним значенням пере- вищує tтабл ), приймається альтернативна гіпотеза про значущість відповідного параметра. Інакше робиться висновок про статистичну незначущість параметра a  j, а це означає, що відповідна незалежна змінна не впливає суттєво на змінювання регресанда. Зауваження. Оскільки t  j-статистика є відношенням відповідного параметра моделі до його стандартної похибки (середньоквадратично- го відхилення), то на практиці частіше застосовують грубішу оцінку, а саме допускають, щоб стандартні похибки становили 45–50 % значен- ня параметра, аби стверджувати про його статистичну значущість. Довірчі інтервали для кожного окремого параметра a  j обчислю- ються на основі його стандартної похибки та критерію Стьюдента: (a  j - tтабл \x03C32 c  jj ; a  j + tтабл \x03C32 c  jj ) . u u Табличне значення tтабл, як і раніше, має n - m - 1 ступенів сво- боди і рівень значущості \x03B1/2 (tтабл = t\x03B1/2 (n - m - 1)). Обчислені значення t  j -статистик застосовують також для розра- хунку часткових коефіцієнтів детермінації \x2206R2, які визначають гра- j ничний внесок j-го регресора в загальний коефіцієнт детермінації. Ко- ефіцієнт \x2206R2 показує, на яку величину зменшиться коефіцієнт j детермінації R2 , якщо j-й регресор (і лише він!) буде вилучений з гру- пи регресорів. Формула для розрахунку часткового коефіцієнта де- термінації має вигляд (1 - R )  t 2 2 j \x2206R2 = , j n-m де R2 — коефіцієнт детермінації, обчислений для моделі з m регресо- рами; t  2 — квадрат обчисленого значення t-статистики для j-го рег- j ресійного коефіцієнта; n — кількість спостережень, m — кількість рег- ресорів. 2 2 Зауваження. Часткові коефіцієнти детермінації \x2206RТ і \x2206RA , об- 2 2 числені за відповідними значеннями RT та RA , можуть бути як до- датними, так і від’ємними, що дає змогу більш об’єктивно оцінювати моделі з різною кількістю регресорів. 3.4. Прогнозування за лінійною моделлю Якщо побудована модель адекватна за .-критерієм, то її застосо- вують для прогнозування залежної змінної. Про прогнозування регресанда говорять тоді, коли в часових рядах прогнозний період настає пізніше, ніж базовий. Якщо регресія побудо- вана за просторовими даними, прогноз стосується тих елементів гене- ральної сукупності, що перебувають за межами застосованої вибірки. Якість прогнозу тим краща, чим повніше виконуються передумо- ви моделі в прогнозний часовий період, надійніше (вірогідніше) оці- нено параметри моделі й більш точно визначено прогнозні значення регресорів. \x02C6 Значення y  p для майбутнього періоду чи додаткового елемента обчислюють за формулою (3.1) за відомим вектором оцінених пара- метрів a = (a0 , a1, a2 , ..., am ) і за вектором значень незалежних \x02C6 \x02C6\x02C6\x02C6 \x02C6 змінних x  p = (1, x1p , x2 p , ..., xmp ), що не належать до базового періоду. Розрізняють прогноз середній (оцінку математичного сподівання рег- ресанда) та індивідуальний (оцінку певної реалізації регресанда y  p, що відповідає моменту p). Перша з них базується на передумові МНК про нульове математичне сподівання випадкової складової рівняння \x02C6 регресії, а друга застосовує оцінене значення up . Оцінену дисперсію прогнозу обчислюють відповідно за формулами \x03C32 = \x03C32 x  T (X  TX )-1 x  p ; \x02C6e   \x02C6u p \x03C32(i) = \x03C32 + \x03C32 xT (X  TX )-1 x  p . \x02C6e \x02C6u  \x02C6u p Зрозуміло, що здебільшого реальне значення показника yt не збігатиметься зі значенням його математичного сподівання, але якщо розглядати велику кількість вибірок, на підставі яких визначатиметь- ся прогноз, то можна гарантувати, що приблизно (1 - \x03B1) \x22C5 100 % ре- зультатів потраплять відповідно до інтервалів ( y  p - t\x03B1/2 \x03C32 ; y  p + t\x03B1/2 \x03C32 ) ; \x02C6 \x02C6 \x02C6e \x02C6e ( y  p - t\x03B1/2 \x03C32(i) ; y  p + t\x03B1/ 2 \x03C32(i) ) , \x02C6 \x02C6 \x02C6e \x02C6e де t\x03B1 / 2 — табличне значення критерію Стьюдента з n - m - 1 ступе- нями свободи та при заданому рівні значущості \x03B1/2. (Значення \x03B1/2 вибирають, як і раніше, через двосторонні критичні межі.) Зауваження. Очевидно, з віддаленням від середнього значення вибірки спостережень похибка прогнозу зростатиме, що призведе до збільшення довірчого інтервалу для індивідуального значення залеж- ної змінної. 3.5. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі На кожний економічний показник впливає безліч факторів. При побудові регресійного рівняння виникає питання, які саме з них слід уводити в модель. Причому при використанні моделі для прогнозу бажано включити якомога більше факторів. З іншого боку, збирання та обробка великої кількості інформації потребують значних витрат, тобто кількість факторів доцільно зменшити. Для вибору компромісного рішення не існує єдиної процедури. Тому для побудови “найкращого” рівняння застосовують один із таких методів. 1. Метод усіх можливих регресій — історично один із перших ме- тодів побудови регресійної моделі — найбільш громіздкий, тому що передбачає побудову регресій, які містять усі можливі комбінації впливових факторів. Іншими словами, якщо розглядається m фак- торів, то досліджується 2m регресій, які порівнюються між собою за значеннями коефіцієнта детермінації та стандартною похибкою рівняння. Хоча цей метод і дає змогу дослідити усі можливі рівнян- ня, однак при великій кількості факторів він, звичайно, неприйнят- ний. 2. Метод виключень економніший щодо обчислень і базується на дослідженні часткових .-критеріїв, які дають змогу встановлювати ста- тистичну значущість співвідношення між залишками моделі з найбіль- шою кількістю факторів і залишками моделі з одним вилученим фак- тором. Якщо для деякого вилученого фактора таке співвідношення не є значущим (приймається нульова гіпотеза), то він до моделі не по- вертається. Таке дослідження проводиться також для рівняння з мен- шою кількістю факторів, але з більшим числом ступенів свободи. 3. Покроковий регресійний метод діє у зворотному порядку по- рівняно з попереднім методом, тобто до моделі послідовно включа- ються фактори, що мають найбільший коефіцієнт кореляції із залеж- ною змінною. Модель аналізується за значеннями коефіцієнта детермінації та частковими .-критеріями. Фактори, що не задоволь- няють критерії, з моделі вилучаються. Процес припиняється, якщо жоден з факторів рівняння вилучити не вдається, а новий претендент на включення не відповідає частковому .-критерію. На практиці цей метод найпоширеніший. 3.6. Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm , що описує залежність між результативною змінною y та деякими впливовими факторами x1, x2 , ..., xm . Інформація про значення y, x1, x2 , ..., xm міститься у відповідних статистичних даних — n спо- стереженнях (вимірюваннях) кожного показника. Для дослідження зазначеної моделі слід виконати такі кроки. 1. За даними спостережень оцінити параметри a1 , a2 , ..., am . 2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити: а) залишки моделі — розбіжності між спостереженими та розра- хунковими значеннями залежної змінної ui = yi - yi , i = 1, 2, ..., n; \x02C6 б) відносну похибку залишків та її середнє значення; в) залишкову дисперсію; г) коефіцієнт детермінації; д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції. 3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів: а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою .-кри- терію Фішера перевірити гіпотезу H0 : a1 = a2 = ... = am = 0 проти альтернативної HA : існує хоча б один коефіцієнт a  j \x2260 0; б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу H0 : R = 0; в) перевірити істотність кожного коефіцієнта регресії: за допо- могою t-критерію Стьюдента перевірити гіпотезу H0 : a  j = 0 для всіх j = 1, 2, ..., m проти відповідних альтернативних гіпотез HA : a  j \x2260 0 для всіх j = 1, 2, ..., m; г) оцінити вплив кожного регресора на якість моделі, тобто об- числити часткові коефіцієнти детермінації \x2206R2, скоригувати їх за j Тейлом і за Амемією та дати їх відповідну інтерпретацію; д) оцінити вплив окремих груп регресорів на змінювання рег- ресанда, застосувавши .-критерій Фішера. 4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності. 5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості \x03B1. 6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії. 7. Обчислити прогнозні значення y  p за значеннями x1p , x2 p , ..., xmp , що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу. Приклад параметризації та дослідження багатофакторної регресійної моделі Розглянемо задачу дослідження впливу на економічний показник y трьох факторів x1, x2, x3, а саме досліджуватимемо залежність при- бутку підприємства y(i) від інвестицій x1(i), витрат на рекламу x2(i) та заробітну плату x3(i). Вихідні дані в умовних одиницях Номер y(i) x1(i) x2(i) x3(i) споcтереження 1 15,70 17,37 5,28 1,42 2 17,34 18,24 6,47 1,58 3 21,57 22,47 6,98 1,98 4 33,50 18,47 7,05 2,04 5 32,30 16,82 7,94 2,38 6 37,90 17,60 8,12 3,48 7 40,78 17,12 8,69 3,07 8 48,02 19,81 9,31 3,84 9 43,30 18,67 10,45 4,28 10 49,57 20,83 10,47 4,67 11 52,14 22,84 13,48 5,98 12 55,17 28,85 15,78 6,51 13 59,18 29,61 17,65 7,82 14 62,22 35,67 18,47 8,58 15 77,58 47,87 19,64 9,47 Припустимо, що між економічним показником y і факторами x1, x2, x3 існує лінійний зв’язок. Запишемо рівняння регресії у вигляді y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + u, (3.3) (3.4) y = a0 + a1x1 + a2 x2 + a3 x3, \x02C6\x02C6 \x02C6 \x02C6 \x02C6 \x02C6 де y, y — відповідно фактичні та розрахункові значення прибутку; x1, x2 , x3 — відповідно інвестиції, витрати на рекламу та заробітну плату; a0 , a1, a2 , a3 та a0 , a1, a2 , a3 — відповідно параметри моделі, які \x02C6\x02C6\x02C6\x02C6 потрібно оцінити, та їх оцінки; u — стохастична складова. 1. Знайдемо МНК-оцінки параметрів моделі (3.3). Для цього скла- демо вектор-стовпець Y і матрицю X: \xF8EB1 1, 42 \xF8F6 17, 37 5, 28 \xF8EB 15, 7 \xF8F6 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 18, 24 6, 47 1, 58 \xF8F7 17, 34 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC1 1, 98 \xF8F7 \xF8EC 21, 57 \xF8F7 22, 47 6, 98 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 18, 47 7, 05 2, 04 \xF8F7 33, 5 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC1 2, 38 \xF8F7 \xF8EC 32, 3 \xF8F7 16, 82 7, 94 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 17, 6 8, 12 3, 48 \xF8F7 37, 9 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC1 3, 07 \xF8F7 \xF8EC 40, 78 \xF8F7 17, 12 8, 69 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 X = \xF8EC1 3, 84 \xF8F7 . 19, 81 9, 31 Y =\xF8EC 48, 02 \xF8F7 ; \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 18, 67 10, 45 4, 28 \xF8F7 43, 3 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC1 4, 67 \xF8F7 \xF8EC 49, 57 \xF8F7 20, 83 10, 47 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 22, 84 13, 48 5, 98 \xF8F7 52, 14 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC1 6, 51 \xF8F7 \xF8EC 55, 17 \xF8F7 28, 85 15, 78 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 29, 61 17, 65 7, 82 \xF8F7 \xF8EC 59, 18 \xF8F7 \xF8EC1 8, 58 \xF8F7 \xF8EC 62, 22 \xF8F7 35, 67 18, 47 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC1 9, 47 \xF8F7 \xF8EC 77, 58 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 47, 87 19, 64 \xF8ED \xF8F8 Обчислимо оцінки регресійних коефіцієнтів за формулою a = (X \x2032X )-1 X \x2032Y , \x02C6 де X \x2032 — транспонована матриця Х, \xF8EB 1\xF8F6 1 1 1 1 L \xF8EC \xF8F7 17, 37 18, 24 22, 47 L 35, 67 47, 87 \xF8F7 X\x2032 = \xF8EC \xF8EC 5, 28  6, 47  6, 98 L 18, 47 19, 64 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC 1, 42  1, 58 L  8, 58  9, 47 \xF8F7 1, 98 \xF8ED \xF8F8 \xF8EB 67, 1\xF8F6 15  352, 24 165, 78 \xF8EC \xF8F7 352, 24 9335, 74 4404, 383 1858, 071\xF8F7 X \x2032X = \xF8EC ; \xF8EC 165, 78 4404, 38 2147, 268 914, 9516 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC  67, 1 1858, 07 914, 9516 397, 2576 \xF8F7 \xF8F7 \xF8ED \xF8F8 -0, 0276 -0, 51745  0, 958316 \xF8F6 \xF8EB 2, 14866 \xF8EC \xF8F7 -0, 0276 0, 00428  -0, 0056 -0, 00245 \xF8F7 =\xF8EC ( X \x2032X )-1 ; \xF8EC -0, 5174 \xF8F7 -0, 0056 0, 18797 -0, 31932 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC 0, 95831 -0, 0024  -0, 31932  0, 58755 \xF8F7 \xF8ED \xF8F8 \xF8EB 26,10789 \xF8F6 \xF8EB 646, 27 \xF8F6 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 -0,2518 \xF8F7 16861, 1\xF8F7 a=\xF8EC X \x2032Y = \xF8EC \x02C6 . ; \xF8EC -2,72767 \xF8F7 \xF8EC 8209, 78 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 11,85602 \xF8F7 \xF8EC 3498, 18 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8F7 \xF8ED \xF8F8 \xF8ED Отже, функція регресії з урахуванням знайдених оцінок ко- ефіцієнтів моделі набуває вигляду (3.5) y = 26, 10789 - 0, 2518x1 - 2, 72767x2 + 11, 85602x3 . \x02C6 2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислимо: а) її залишки ui = yi - yi , i = 1, 2, ..., n, де yi — задані спостережен- \x02C6 ня, а yi визначені за формулою (3.5) при заданих спостереженнях \x02C6 факторів x1, x2 , x3. . Зауваження. Обчислення значень yi можна виконати у матрич- \x02C6 \x02C6 \x02C6 ному вигляді за формулою Y = Xa, де Y — вектор значень y , \x02C6 i i = 1, 2, ..., n. \xF8EB 24, 1675 \xF8F6 \xF8EC \xF8F7 22, 5995 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 24, 8857 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 26, 4133 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 28, 4322 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 40, 7864 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 34, 4915 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \x02C6 Y = \xF8EC 41, 2522 \xF8F7 ; \xF8EC \xF8F7 43, 6463 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 47, 6718 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 54, 4867 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 52, 9835 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC 63, 2227 \xF8F7 \xF8EC 68, 4707 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC 72, 7592 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8ED \xF8F8 б) відносну похибку розрахункових значень регресії: \x02C6 ui \x03B4i = \x22C5 100 % ; y \xF8EB -0, 53934 \xF8F6 \xF8EC \xF8F7 -0, 30332 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC -0, 15372 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 0, 21154 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 0, 11974 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 -0, 07616 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 0, 15420 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \x03B4i = \xF8EC 0, 14093 \xF8F7 ; \xF8EC \xF8F7 -0, 008  \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 0, 03829 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 -0, 04501 \xF8F7 \xF8EC \xF8EC 0, 03963 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC -0, 06831 \xF8F7 \xF8EC -0, 10046 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8EC 0, 06213 \xF8F7 \xF8EC \xF8F7 \xF8ED \xF8F8 середнє значення відносної похибки: n \x2211  \x03B4i i =1 \x03B4= ; n \x03B4 = -0,52783; в) середньоквадратичну похибку дисперсії залишків: n n \x2211  ( yi - yi ) \x2211  ui 2 2 \x02C6 uT u \x02C6 \x02C62 i =1 i =1 Su = \x03C3u = = = n - m -1 n - m -1 n - m -1 (чим менша стандартна похибка S, тим краще функція регресії відпо- відає дослідним даним); \x02C6 Su = 5,7357 г) коефіцієнт детермінації, тобто перевіримо загальний вплив не- залежних змінних на залежну змінну: n \x2211  ui2 R2 = 1 - i =1 , n \x2211  ( yi - y)2 i =1 B\x2032X \x2032Y - ny2 Y \x2032Y - B\x2032X \x2032Y 2 ; R =1- = 2 2 Y \x2032Y - ny Y \x2032Y - ny R2 = 0,91436. Висновок: оскільки коефіцієнт детермінації наближається до оди- ниці, варіація залежної змінної Y значною мірою визначається варіа- цією незалежних змінних; д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції: R = R2 ; R = 0,956222. Коефіцієнт кореляції досить великий, тому існує тісний лінійний зв’язок усіх незалежних факторів x1, x2, x3 із залежною змінною y. 3. Перевіримо статистичну значущість отриманих результатів: а) обчислимо .-статистику за формулою (спрощений варіант для перевірки нульової гіпотези: H0 : a1 = a1 = a2 = ... = am = 0 ): R2 n - m -1 .експ = ; 2 m 1- R .експ = 39,14827. Знайдемо табличне значення .-статистики . (m, n - m - 1, \x03B1) (дод. 5): . (3; 11; 0,05) = 3,59 . Порівняємо його з обчисленою .-cтатистикою. Оскільки .експ > . (3; 11; 0,05), нульова гіпотеза відхиляється, тоб- то коефіцієнти регресії є значущими; б) обчислимо t-статистику: R n - m -1 t= ; 2